Help me TT 

Giúp mk vs ? 

a: f(n+1)>f(n)

=>f(n+1)>=f(n)+1

Áp dụng quy nạp toán học cho bất đẳng thức trên, với mọi k và m là các số nguyên dương sao cho k>m, ta có:

\(f(k) \ge f(m) + k - m\)

Lấy k=f(n) và m=n, ta sẽ có:

Khi f(n)>n thì \(f(f(n)) \ge f(n) + f(n) - n = 2f(n) - n\)

=>\(n+2000\ge2f(n)-n\)

=>\(2f(n)\le2n+2000\implies f(n)\le n+1000\)

Giả sử tồn tại \(n_0\in Z^{+}\) sao cho \(f(n_0 + 1) \ge f(n_0) + 2\)

Vì hàm số f(n) tăng nên với mọi k>=1 ta sẽ có:

\(f(n_0 + k) \ge f(n_0 + 1) + k - 1 \ge f(n_0) + k + 1\)

Chọn k sao cho \(n_0+k=f\left(n_0\right)\)

=>\(k=f\left(n_0\right)-n_0\)

Khi đó, ta có:

\(f(f(n_0)) \ge f(n_0) + (f(n_0) - n_0) + 1 = 2f(n_0) - n_0 + 1\)

=>\(n_0+2000\ge2f(n_0)-n_0+1\)

=>\(2f(n_0)\le2n_0+1999\)

=>\(f(n_0)\le n_0+999.5\)

Thực hiện đánh giá tương tự cho n bước nhảy lớn hơn 1, ta sẽ thấy mâu thuẫn khi xét chu kỳ của f(f(n))=n+2000

Từ f(n+1)>=f(n)+1, bằng cách quy nạp cho 2000 bước thì ta sẽ có:

\(f(n + 2000) \ge f(n) + 2000\)

=>\(f(f(f(n))) \ge f(n) + 2000\)

mà theo điều kiện \(f(f(n))=n+2000,\forall n\in Z^{+}\) thì ta sẽ có:

\(f(f(f(n))) = f(n) + 2000\)

Dấu '=' xảy ra khi f(x+1)=f(x)+1∀x∈\(Z^{+}\)

Llklkksd

a, Với n = 1 ta có 3 ⋮ 3.

Giả sử n = k ≥ 1 , ta có :  k³ + 2k ⋮ 3 ( GT qui nạp).

Ta đi chứng minh : n = k + 1 cũng đúng: 

(k+1)^3 + 2(k+1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 2k + 2

                           = (k^3+2k) + 3(k^2+k+1)

Ta có : + (k^3+2k) ⋮ 3 ( theo gt trên) 

             + 3(k^2+k+1) hiển nhiên chia hết cho 3 

Vậy mệnh đề luôn chia hết cho 3.

b, Với n = 1 ta có 12 ⋮ 6.

Giả sử n = k ≥ 1 , ta có: 13^k -1 ⋮ 6

Ta đi chứng minh : n = k+1 cũng đúng: 

=> 13^k.13 - 1 = 13(13^k - 1) + 12.

Có: - 13(13^k - 1) ⋮ 6 ( theo gt)

       - 12⋮6 ( hiển nhiên)

> Vậy mệnh đề luôn đúng.

- Câu a): *y^2 , sai đề y2.

Câu b:

Ta có: \(x^2 + 4y^2 + z^2 - 2x - 6z + 8y + 15\)

\(= (x^2 - 2x +1) + (4y^2 - 8y + 4) + (z^2 - 6z +9) +1\)

\(= (x-1)^2 + (2y-2)^2 + (z-3)^2 + 1\)

Mà \((x-1)^2 \geq 0; (2y-2)^2 \geq 0; (z-3)^2\geq 0\)

\(\implies\) \((x-1)^2+(2y-2)^2 +(z-3)^2\geq 0\)

\(\implies\)\((x-1)^2+(2y-2)^2 +(z-3)^2+1> 0\)

a,Áp dụng BĐT AM- GM cho các số không âm, ta có:

\(x^2+y^2z^2\ge2xyz\)

b,\(x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)

\(\Leftrightarrow x^4-x^3y+y^4-xy^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\left(1\right)\)

Vì \(x^2+xy+y^2\ge0\) \(\Rightarrow\left(1\right)\) đúng

a) bpt <=> x² - 2xyz + y²z² ≥ 0

<=> (x - yz)² ≥ 0 (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra <=> x = yz

b) bpt <=> x⁴ - xy³ + y⁴ - x³y ≥ 0

<=> x(x³ - y³) - y(x³ - y³) ≥ 0

<=> (x - y)²(x² - xy + y²) ≥ 0

<=> (x - y)²[(x - \(\dfrac{1}{2}\)y)² + \(\dfrac{3}{4}\)y²] ≥ 0 (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra <=> x = y