Do \(x^2+2mx+n=0\) có nghiệm \(\Rightarrow m^2-n\ge0\)

Xét pt: \(x^2+2\left(k+\dfrac{1}{k}\right)mx+n\left(k+\dfrac{1}{k}\right)^2=0\)

\(\Delta'=\left(k+\dfrac{1}{k}\right)^2m^2-n\left(k+\dfrac{1}{k}\right)^2=\left(k+\dfrac{1}{k}\right)^2\left(m^2-n\right)\ge0\) với mọi k

\(\Rightarrow\)Pt đã cho có nghiệm

em đọc ko hiểu gì hết

a: a=1; b=-2m; c=-1

Vì a*c=1*(-1)=-1<0

nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu

b: Theo Vi-et, ta có:

\(\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2m\\ x_1x_2=\frac{c}{a}=-1\end{cases}\)

\(x_1^2+x_2^2-x_1x_2=7\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2=7\)

=>\(\left(2m\right)^2-3\cdot\left(-1\right)=7\)

=>\(4m^2=4\)

=>\(m^2=1\)

=>m=1 hoặc m=-1

1) \(x^2-2mx+m-2=0\) (1) 

pt (1) có \(\Delta'=\left(-m\right)^2-\left(m-2\right)=m^2-m+2=\left(m-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}>0\left(\forall m\right)\) 

=> pt luôn có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂ 

Vi-et: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=m-2\end{cases}}\)\(\Rightarrow\)\(M=\frac{2x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)}{x_1^2+x_2^2-6x_1x_2}=\frac{2x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)}{\left(x_1+x_2\right)^2-8x_1x_2}=\frac{2m-4-2m}{\left(2m\right)^2-8m-16}\)

\(=\frac{-4}{4m^2-8m-16}=\frac{-4}{4\left(m-1\right)^2-20}\ge\frac{-4}{-20}=\frac{1}{5}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(m=1\)

xin 1slot sáng giải

Lời giải:

Nếu $x_1,x_2$ là nghiệm của pt trên thì theo định lý Viete ta có:

\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=\frac{2(m-1)}{m}\\ x_1x_2=\frac{m}{m}=1\end{matrix}\right.\)

Nếu \(x_1^2+x_2^2=2\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2+2x_1x_2-2x_1x_2=2\)

\(\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=2\Leftrightarrow \frac{4(m-1)^2}{m^2}-2=2\)

\(\Leftrightarrow \frac{4(m-1)^2}{m^2}=4\Rightarrow 4(m-1)^2=4m^2(*)\)

Khi đó:

\(\Delta=4(m-1)^2-4m^2=0\) theo $(*)$

Do đó pt đã cho có nghiệm kép.

1: Sửa đề: Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m

TH1: m=0

Phương trình sẽ trở thành:

\(0\cdot x^2+2\cdot x-4\cdot0+4=0\)

=>2x+4=0

=>2x=-4

=>x=-2

=>Phương trình có nghiệm duy nhất là x=-2(1)

TH2: m<>0

\(\Delta=2^2-4m\left(-4m+4\right)\)

\(=4+16m^2-16m=4\left(4m^2-4m+1\right)=4\left(2m-1\right)^2\ge0\forall m\)

=>Phương trình luôn có nghiệm với mọi m<>0(2)

Từ (1),(2) suy ra phương trình luôn có nghiệm với mọi m

2: TH1: m=0

=>Phương trình có nghiệm duy nhất là x=-2

=>Nhận

TH2: m<>0

*Trường hợp 1: Phương trình có hai nghiệm trái dấu

=>m(-4m+4)<0

=>m(m-1)>0

=>m>1 hoặc m<0

*Trường hợp 2: Phương trình có hai nghiệm đều là nghiệm âm

=>\(\begin{cases}\Delta\ge0\\ x_1+x_2<0\\ x_1x_2>0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}4\left(2m-1\right)^2\ge0\left(luônđúng\right)\\ -\frac{2}{m}<0\\ \frac{-4m+4}{m}>0\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}m>0\\ \frac{-m+1}{m}>0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}m>0\\ \frac{m-1}{m}<0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}m>0\\ 0

=>0<m<1

3.

Phương trình có 2 nghiệm khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}m+1\ne0\\\Delta=m^2-12\left(m+1\right)\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne-1\\\left[{}\begin{matrix}m\ge6+4\sqrt{3}\\m\le6-4\sqrt{3}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) (1)

Khi đó theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{m}{m+1}\\x_1x_2=\dfrac{3}{m+1}\end{matrix}\right.\)

Hai nghiệm cùng lớn hơn -1 \(\Rightarrow-1< x_1\le x_2\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)>0\\\dfrac{x_1+x_2}{2}>-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1x_2+x_1+x_1+1>0\\x_1+x_2>-2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{m+1}-\dfrac{m}{m+1}+1>0\\-\dfrac{m}{m+1}>-2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4}{m+1}>0\\\dfrac{m+2}{m+1}>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-1\\\left[{}\begin{matrix}m>-1\\m< -2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m>-1\)

Kết hợp (1) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}-1< m< 6-4\sqrt{3}\\m\ge6+4\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

Những bài này đều là dạng toán lớp 10, thi lớp 9 chắc chắn sẽ không gặp phải

1. Có 2 cách giải:

C1: đặt \(f\left(x\right)=x^2+2mx-3m^2\)

\(x_1< 1< x_2\Leftrightarrow1.f\left(1\right)< 0\Leftrightarrow1+2m-3m^2< 0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

C2: \(\Delta'=4m^2\ge0\) nên pt luôn có 2 nghiệm

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2m\\x_1x_2=-3m^2\end{matrix}\right.\)

\(x_1< 1< x_2\Leftrightarrow\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1< 0\)

\(\Leftrightarrow-3m^2+2m+1< 0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

a) \(\left(x^2-2\right)\left(k-1\right)x+2k-5=0\)

\(\Delta=\left(k-1\right)^2-2k+5\)

\(=k^2-4x+6=\left(k-2\right)^2+2>0\)

=> PT luôn có nghiệm với mọi k

Sửa đề: x^2-2mx-1=0

a: a=1; b=-2m; c=-1

Vì a*c=1*(-1)=-1<0

nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu

b: Theo Vi-et, ta có:

\(\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2m\\ x_1x_2=\frac{c}{a}=-1\end{cases}\)

\(x_1^2+x_2^2-x_1x_2=7\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2=7\)

=>\(\left(2m\right)^2-3\cdot\left(-1\right)=7\)

=>\(4m^2=4\)

=>\(m^2=1\)

=>m=1 hoặc m=-1