Đặt \(a=1+x+\dfrac{1}{x};b=1+y+\frac{1}{y}\)

Ta có bất đẳng thức sau: \(a^3 + b^3 \ge \dfrac{1}{4}(a + b)^3\)

=>\(T \ge \frac{1}{4} \left[\left(1 + x + \frac{1}{x}\right) + \left(1 + y + \frac{1}{y}\right)\right]^3\)

=>\(T \ge \frac{1}{4} \left[2 + (x + y) + \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right)\right]^3 \quad (1)\)

Đặt \(S=2+\left(x+y\right)+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)

Theo Cauchy-Schwarz, ta có:

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{x + y}\)

=>\(S \ge 2 + (x + y) + \frac{4}{x + y}\)

=>\(S \ge 2 + \left[(x + y) + \frac{1}{x + y}\right] + \frac{3}{x + y}\)

mà \((x + y) + \frac{1}{x + y} \ge 2\sqrt{(x + y) \cdot \frac{1}{x + y}} = 2\) (BĐT Cosi)

và 3/(x+y)>=3/1=3(Vì x+y<=1)

nên \(S\ge2+2+3=7\)

=>\(T \ge \frac{1}{4} \cdot S^3 \ge \frac{1}{4} \cdot 7^3 = \frac{343}{4}\)

Dấu '=' xảy ra khi x=y và x+y=1

=>x=y=1/2

cái này giống này - Here. Mỗi tội bài này Min=22 khi x=y=1/2

Bài 2. Áp dụng BĐT Cauchy dưới dạng Engel , ta có :

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y}+\dfrac{9}{z}\) ≥ \(\dfrac{\left(1+4+9\right)^2}{x+y+z}=196\)

⇒ \(P_{MIN}=196."="\) ⇔ \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)

Sorry nhé , mình làm lại bài 2 .

\(P=\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y}+\dfrac{9}{z}\ge\dfrac{\left(1+2+3\right)^2}{x+y+z}=36\)

\(\Rightarrow P_{MIN}=36."="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{3}\)

Giá trị nhỏ nhất là 17/4
 

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:
$M\geq 2\sqrt{\frac{1}{xy}}.\sqrt{1+x^2y^2}=2\sqrt{\frac{x^2y^2+1}{xy}}$
$=2\sqrt{xy+\frac{1}{xy}}$

Áp dụng BĐT AM-GM tiếp:

$1\geq x+y\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\leq \frac{1}{4}$
$xy+\frac{1}{xy}=(xy+\frac{1}{16xy})+\frac{15}{16xy}$

$\geq 2\sqrt{xy.\frac{1}{16xy}}+\frac{15}{16xy}$

$\geq 2\sqrt{\frac{1}{16}}+\frac{15}{16.\frac{1}{4}}=\frac{17}{4}$

$\Rightarrow M\geq 2\sqrt{\frac{17}{4}}=\sqrt{17}$

Vậy $M_{\min}=\sqrt{17}$. Giá trị này đạt tại $x=y=\frac{1}{2}$

kẻ lười biếng nạp card, đi ô tô

Giá trị lớn nhất là 2/17

\(\dfrac{2}{17}\)

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{2}{xy})(x^2+y^2+2xy)\geq (1+1+2)^2=16$

$\Rightarrow \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{2}{xy}\geq \frac{16}{(x+y)^2}=16$

Áp dụng BĐT AM-GM:

$xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{1}{4}$

$\Rightarrow \frac{2}{xy}\geq 8$

Cộng 2 BĐT trên lại:

$P\geq 16+8=24$

Vậy $P_{\min}=24$ khi $x=y=\frac{1}{2}$

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{2}{xy})(x^2+y^2+2xy)\geq (1+1+2)^2=16$

$\Rightarrow \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{2}{xy}\geq \frac{16}{(x+y)^2}=16$

Áp dụng BĐT AM-GM:

$xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{1}{4}$

$\Rightarrow \frac{2}{xy}\geq 8$

Cộng 2 BĐT trên lại:

$P\geq 16+8=24$

Vậy $P_{\min}=24$ khi $x=y=\frac{1}{2}$