ĐKXĐ: x<>1

\(\frac{mx-m+1}{x-1}<0\)

=>\(\frac{m(x - 1) + 1}{x - 1}<0\)

=>\(m+\frac{1}{x - 1}<0\iff\frac{1}{x - 1}<-m\) (1)

TH1: m=0

(1) sẽ trở thành: \(\frac{1}{x-1}<0\)

=>x-1<0

=>x<1

TH2: m>0

=>-m<0

(1) sẽ tương đương với: \(\frac{mx-m+1}{x-1}\) <0

=>\(\frac{m-1}{m}

TH3: m<0

=>-m>0

m<0

=>\(\frac{1}{m}<0\)

=>\(1-\frac{1}{m}>1\)

Với bất phương trình \(\frac{1}{x-1}<-m\) trong trường hợp này chỉ có thể đúng trong hai khoảng sau:

x-1<0 =>x<1

\(x-1>-\frac{1}{m}\)

=>\(x>1-\frac{1}{m}\)

BÀi 1:

ĐKXĐ: x<>-1

\(3\left(1-x\right)>\frac{7-3x^2}{x+1}\)

=>\(3\left(1-x\right)-\frac{7-3x^2}{x+1}>0\)

=>\(3\left(x-1\right)-\frac{3x^2-7}{x+1}<0\)

=>\(\frac{3\left(x-1\right)\left(x+1\right)-3x^2+7}{x+1}<0\)

=>\(\frac{3x^2-3-3x^2+7}{x+1}<0\)

=>\(\frac{4}{x+1}<0\)

=>x+1<0

=>x<-1

Bài 2:

\(\left(m^2-4\right)x+3>\left(2m-1\right)x+m\)

=>\(x\left(m^2-4-2m+1\right)>m-3\)

=>\(x\left(m^2-2m-3\right)>m-3\)

=>x(m-3)(m+1)>m-3(1)

TH1: m=3

(1) sẽ trở thành: x(3-3)(3+1)>3-3

=>0x>0(vô lý)

=>BPT vô nghiệm

TH2: m=-1

(1) sẽ trở thành: x(-1-3)(-1+1)>-1-3

=>0x>-4(đúng)

=>BPT có vô số nghiệm

TH3: (m-3)(m+1)>0

=>m>3 hoặc m<-1

(1) sẽ tương đương: \(x>\frac{m-3}{\left(m-3\right)\left(m+1\right)}=\frac{1}{m+1}\)

TH4: (m-3)(m+1)<0

=>-1<m<3

(1) sẽ tương đương: \(x<\frac{m-3}{\left(m-3\right)\left(m+1\right)}=\frac{1}{m+1}\)

  m x   -   m 2   >   2 x   -   4   ⇔ (m - 2)x > (m - 2)(m + 2)

    Nếu m > 2 thì m – 2 > 0, bất phương trình có nghiệm là x > m + 2;

    Nếu m < 2 thì m – 2 < 0, bất phương trình có nghiệm là x < m + 2;

    Nếu m = 2 thì bất phương trình trở thành 0x > 0, bất phương trình vô nghiệm.

\(mx^2+\left(m+1\right)x-2m\le0\) (1)

Nếu \(m=0\) thì dễ thấy (1) có nghiệm \(x\le0\)

Xét \(m\ne0\) Khi đó (1) là bất phương trình bậc hai với a=m. 

Ngoài ra, biệt thức

\(\Delta=9m^2+2m+1=\left(3m+\frac{1}{3}\right)^2+\frac{8}{9}>0\)  \(\curlyvee m\in R\). Từ đó ta có ngay kết luận :

- Khi m < 0, bất phương trình (1) có tập nghiệm

T(1) = \(\left(x;\frac{-m-1+\sqrt{9m^2+2m+1}}{2m}\right)\)\(\cup\)\(\left(\frac{-m-1-\sqrt{9m^2+2m+1}}{2m};+\infty\right)\)

- Khi m = 0, bất phương trình (1) có tập nghiệm T(1) =R+

- Khi m>0, bất phương trình (1) có tập nghiệm

T(1)=\(\left(\frac{-m-1-\sqrt{9m^2+2m+1}}{2m};\frac{-m-1+\sqrt{9m^2+2m+1}}{2m}\right)\)

Với \(m=0\)

\(PT\Leftrightarrow2x-3=0\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}\)

Với \(m\ne0\)

\(\Delta'=\left(m-1\right)^2-m\left(m-3\right)=m+1\)

PT vô nghiệm \(\Leftrightarrow m+1< 0\Leftrightarrow m< -1\)

PT có nghiệm kép \(\Leftrightarrow m+1=0\Leftrightarrow m=-1\)

\(\Leftrightarrow x=-\dfrac{b'}{a}=\dfrac{m-1}{2m}\)

PT có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow m+1>0\Leftrightarrow m>-1;m\ne0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{m-1+\sqrt{m+1}}{m}\\x=\dfrac{m-1-\sqrt{m+1}}{m}\end{matrix}\right.\)

\(mx^2-3x=x^2+1\Leftrightarrow\left(m-1\right)x^2-3x-1=0\)

Nếu m =1 thì \(\left(m-1\right)x^2-3x-1=0\) có dạng \(-3x-1=0\)  và có nghiệm \(x=-\frac{1}{3}\)

Nếu m \(\ne\)1 thì \(\left(m-1\right)x^2-3x-1=0\)  là phương trình bậc hai ẩn x, có  \(\Delta=4m+5\)

        * Nếu \(\Delta<0\) hay là \(m<-\frac{5}{4}\) thì  \(\left(m-1\right)x^2-3x-1=0\) vô nghiệm

        *  Nếu \(\Delta\ge0\) hay là \(m\ge-\frac{5}{4}\) ;  \(m\ne1\) thì  

                \(\left(m-1\right)x^2-3x-1=0\)  \(\Leftrightarrow x=\frac{3-\sqrt{4m+5}}{2\left(m-1\right)}:=x_1\) hoặc \(x=\frac{3+\sqrt{4m+5}}{2\left(m-1\right)}:=x_2\)

Ta có kết luận :

* Khi \(m<-\frac{5}{4}\) thì phương trình vô nghiệm

* Khi \(m=1\) thì phương trình  có một nghiệm \(x=-\frac{1}{3}\)

* Khi \(m\ge-\frac{5}{4};m\ne1\) thì phương trình có hai nghiệm \(x=x_1;_{ }\) \(x=x_2\)