Ở đây, ta có thực hiện đặt phép chia như câu 1 để tìm số dư và tìm điều kiện giá trị của n để thỏa mãn đề bài. Nhưng bài này ta làm cách biến đội như sau:

Ta có: \(A=n^3-n^2+n-1\)

\(=n^2\left(n-1\right)+\left(n-1\right)=\left(n-1\right)\left(n^2+1\right)\)

Để A là số nguyên tố thì có 2 trường hợp

TH1: \(n^2+1=1\) và n-1 là số nguyên tố

=>\(n^2=0\) và n-1 là số nguyên tố

=>n=0 và 0-1 là số nguyên tố

=>LOại

TH2: n-1=1 và \(n^2+1\) là số nguyên tố

=>n=2 và \(2^2+1\) là số nguyên tố

=>n=2 và 5 là số nguyên tố

=>NHận

• Nếu dd𝑑là ước chẵn của 12 (tức là d∈{2,4,6,12}d is an element of start-set 2 comma 4 comma 6 comma 12 end-set𝑑∈{2,4,6,12}), thì dd𝑑phải là ước của 3n+43 n plus 43𝑛+4. Vì 444là số chẵn, nên 3n3 n3𝑛phải là số chẵn. Điều này xảy ra khi nn𝑛là số chẵn.
• • Nếu nn𝑛là số chẵn, n=2kn equals 2 k𝑛=2𝑘( k∈Nk is an element of the natural numbers𝑘∈ℕ).
  • 3n+4=3(2k)+4=6k+4=2(3k+2)3 n plus 4 equals 3 open paren 2 k close paren plus 4 equals 6 k plus 4 equals 2 open paren 3 k plus 2 close paren3𝑛+4=3(2𝑘)+4=6𝑘+4=2(3𝑘+2).
  • 9n+24=9(2k)+24=18k+24=2(9k+12)9 n plus 24 equals 9 open paren 2 k close paren plus 24 equals 18 k plus 24 equals 2 open paren 9 k plus 12 close paren9𝑛+24=9(2𝑘)+24=18𝑘+24=2(9𝑘+12).
  • Cả hai số 9n+249 n plus 249𝑛+24và 3n+43 n plus 43𝑛+4đều chia hết cho 2, nên chúng không thể là số nguyên tố cùng nhau.
• Nếu d=3d equals 3𝑑=3(hoặc d=6,12d equals 6 comma 12𝑑=6,12), thì dd𝑑phải là ước của 3n+43 n plus 43𝑛+4.
• • 3n3 n3𝑛luôn chia hết cho 3.
  • 444không chia hết cho 3.
  • Do đó, 3n+43 n plus 43𝑛+4không chia hết cho 3.
  • Vậy dd𝑑không thể là 3.

• Nếu nn𝑛là số chẵn, dd𝑑có ước là 2, nên d≥2d is greater than or equal to 2𝑑≥2.
• Nếu nn𝑛là số lẻ, n=2k+1n equals 2 k plus 1𝑛=2𝑘+1( k∈Nk is an element of the natural numbers𝑘∈ℕ).
• • 3n+4=3(2k+1)+4=6k+3+4=6k+73 n plus 4 equals 3 open paren 2 k plus 1 close paren plus 4 equals 6 k plus 3 plus 4 equals 6 k plus 73𝑛+4=3(2𝑘+1)+4=6𝑘+3+4=6𝑘+7.
  • 9n+24=9(2k+1)+24=18k+9+24=18k+33=3(6k+11)9 n plus 24 equals 9 open paren 2 k plus 1 close paren plus 24 equals 18 k plus 9 plus 24 equals 18 k plus 33 equals 3 open paren 6 k plus 11 close paren9𝑛+24=9(2𝑘+1)+24=18𝑘+9+24=18𝑘+33=3(6𝑘+11).
  • 3n+4=6k+73 n plus 4 equals 6 k plus 73𝑛+4=6𝑘+7.
  • Ta đã chứng minh 3n+43 n plus 43𝑛+4không chia hết cho 3.
  • dd𝑑là ước của 12, nhưng dd𝑑không thể là 2, 3, 4, 6, 12. Vậy dd𝑑chỉ có thể là 1.

Gọi d là UC(9n+24;3n+4)

=>9n+24 chia hết cho d

và 3n+4 chia hết cho d=>3(3n+4) chia hết cho d hay 9n+12 chia hết cho d

=>(9n+24)-(9n+12) chia hết cho d hay 12 chia hết cho d=> d thuộc{1;2;3;4;6;12}

d khác 4;6;12 vì nếu nhân 9n+24 hoặc 3n+4 cho các số đó thì sẽ ra kết quả là số chẵn(loại TH này)

Điều kiện để(9n+24;3n+4)=1 là d khác 2 và d khác 3.  

vì 3n+4 ko chia hết cho 3 nên d khác 3

muốn d khác 2 thì 1 trong 2 số 9n+24 và 3n+4 là lẻ

để 9n+24 lẻ <=> 9n lẻ <=> n lẻ

để 3n+4lẻ <=>3n lẻ=>n lẻ

vậy để 9n+24 và 3n+4 là nguyên tố cùng nhau khi n lẻ

tick nha!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Đặt A=9n+24 và B=3n+4

Ta có ƯCLN(A;B)=d

A-B=9n+24-9n-12=12=3.4

Vì 3;4 là nguyên tố cùng nhau nên A-B cũng là nguyên tố cùng nhau

Vậy: (9n+24;3n+4) nguyên tố cùng nhau