cho A = 2/1 . 4/3 . 6/5 ..... 200/199
CMR 14 < A < 20
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
VT
0
11 tháng 7
Bài toán yêu cầu chứng minh rằng với \(A = \frac{2}{1} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{6}{5} \dots \frac{200}{199}\), ta có \(14 < A < 20\).Dưới đây là lời giải chi tiết:1. Chứng minh \(A < 20\)Xét biểu thức \(A^{2}\):
\(A^{2}=\left(\frac{2}{1}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{6}{5}\dots \frac{200}{199}\right)\cdot \left(\frac{2}{1}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{6}{5}\dots \frac{200}{199}\right)\)Ta có nhận xét với mọi \(n > 1\) thì \(\frac{n}{n-1} < \frac{n+1}{n}\). Áp dụng điều này:
Dễ thấy \(\frac{2}{1} > \frac{3}{2}\), \(\frac{4}{3} > \frac{5}{4}, \dots, \frac{200}{199} > \frac{201}{200}\).
Do đó \(A > B\). Tuy nhiên, cách này dùng để chặn dưới.Để chặn trên, ta xét \(C = \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{7}{6} \dots \frac{199}{198} \cdot 2\). Ta có \(A < C\).
Cách phổ biến và chính xác nhất cho dạng này là bình phương và so sánh với một dãy tương ứng:
Ta có \(\frac{n}{n-1} < \sqrt{\frac{n+1}{n-1}}\) (vì \(\frac{n^2}{(n-1)^2} < \frac{n+1}{n-1} \Leftrightarrow n^2 < (n+1)(n-1) = n^2-1\), vô lý).Cách tiếp cận hiệu quả hơn:
Xét \(A^2 = \frac{2^2}{1^2} \cdot \frac{4^2}{3^2} \cdot \frac{6^2}{5^2} \dots \frac{200^2}{199^2}\).
Ta có \(\frac{n^2}{(n-1)^2} < \frac{n^2}{n^2-n} = \frac{n}{n-1}\) (không giúp ích).
Sử dụng bất đẳng thức \(\frac{n}{n-1} < \frac{n+1}{n}\) là sai chiều.Thực tế, với \(n \ge 2\): \(\frac{n}{n-1} < \frac{n-1}{n-2}\) cũng sai.
Ta sử dụng: \(\frac{2}{1} \cdot \frac{4}{3} \dots \frac{200}{199}\).
Đặt \(S = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \dots \frac{199}{200}\). Khi đó \(A = \frac{1}{S}\).
Ta biết \(\frac{1}{2\sqrt{n}} < S < \frac{1}{\sqrt{2n+1}}\).
Với \(n=100\): \(S < \frac{1}{\sqrt{201}} \approx \frac{1}{14.17} \Rightarrow A > 14.17 > 14\).
Và \(S > \frac{1}{2\sqrt{100}} = \frac{1}{20} \Rightarrow A < 20\).2. Tổng kết
\(A^{2}=\left(\frac{2}{1}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{6}{5}\dots \frac{200}{199}\right)\cdot \left(\frac{2}{1}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{6}{5}\dots \frac{200}{199}\right)\)Ta có nhận xét với mọi \(n > 1\) thì \(\frac{n}{n-1} < \frac{n+1}{n}\). Áp dụng điều này:
- \(\frac{2}{1} < \frac{3}{2}\) (không áp dụng được vì làm \(A^{2}\) nhỏ đi, ta cần tìm chặn trên).
- Thay vào đó, ta sử dụng: \(\frac{n}{n-1} < \frac{n+1}{n}\) cho các thừa số của biểu thức thứ hai nhưng lùi lại một nhịp.
Dễ thấy \(\frac{2}{1} > \frac{3}{2}\), \(\frac{4}{3} > \frac{5}{4}, \dots, \frac{200}{199} > \frac{201}{200}\).
Do đó \(A > B\). Tuy nhiên, cách này dùng để chặn dưới.Để chặn trên, ta xét \(C = \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{7}{6} \dots \frac{199}{198} \cdot 2\). Ta có \(A < C\).
Cách phổ biến và chính xác nhất cho dạng này là bình phương và so sánh với một dãy tương ứng:
Ta có \(\frac{n}{n-1} < \sqrt{\frac{n+1}{n-1}}\) (vì \(\frac{n^2}{(n-1)^2} < \frac{n+1}{n-1} \Leftrightarrow n^2 < (n+1)(n-1) = n^2-1\), vô lý).Cách tiếp cận hiệu quả hơn:
Xét \(A^2 = \frac{2^2}{1^2} \cdot \frac{4^2}{3^2} \cdot \frac{6^2}{5^2} \dots \frac{200^2}{199^2}\).
Ta có \(\frac{n^2}{(n-1)^2} < \frac{n^2}{n^2-n} = \frac{n}{n-1}\) (không giúp ích).
Sử dụng bất đẳng thức \(\frac{n}{n-1} < \frac{n+1}{n}\) là sai chiều.Thực tế, với \(n \ge 2\): \(\frac{n}{n-1} < \frac{n-1}{n-2}\) cũng sai.
Ta sử dụng: \(\frac{2}{1} \cdot \frac{4}{3} \dots \frac{200}{199}\).
Đặt \(S = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \dots \frac{199}{200}\). Khi đó \(A = \frac{1}{S}\).
Ta biết \(\frac{1}{2\sqrt{n}} < S < \frac{1}{\sqrt{2n+1}}\).
Với \(n=100\): \(S < \frac{1}{\sqrt{201}} \approx \frac{1}{14.17} \Rightarrow A > 14.17 > 14\).
Và \(S > \frac{1}{2\sqrt{100}} = \frac{1}{20} \Rightarrow A < 20\).2. Tổng kết
- Chặn trên:
Vì \(\frac{2}{1} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{6}{5} \dots \frac{200}{199} < 20\) tương đương với \(\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \dots \frac{199}{200} > \frac{1}{20}\).
Điều này luôn đúng vì \(\frac{n-1}{n} > \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n}{n+1} \dots\) (Sử dụng \(S > \frac{1}{2\sqrt{n}}\)). Với \(n=100\), \(S > \frac{1}{20}\) là hiển nhiên. - Chặn dưới:
Sử dụng \(S < \frac{1}{\sqrt{3n+1}}\) hoặc đơn giản hơn là so sánh \(A\) với dãy lệch một đơn vị để thấy \(A^2 > 200\).
\(A^2 = \frac{2^2}{1 \cdot 1} \cdot \frac{4^2}{3 \cdot 3} \dots \frac{200^2}{199 \cdot 199} > \frac{2^2}{1 \cdot 3} \cdot \frac{4^2}{3 \cdot 5} \dots \frac{200^2}{199 \cdot 201} \cdot 201\)
\(A^2 > 201 \Rightarrow A > \sqrt{201} \approx 14.17\).
N
0
11 tháng 7
Để chứng minh bất đẳng thức \(14 < \frac{2}{1} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{6}{5} \cdot \dots \cdot \frac{200}{199} < 20\), ta đặt:
\(A=\frac{2}{1}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{6}{5}\cdot \dots \cdot \frac{200}{199}\)1. Chứng minh \(A < 20\)Xét \(A^{2}\):
\(A^{2}=\left(\frac{2}{1}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{6}{5}\cdot \dots \cdot \frac{200}{199}\right)^{2}=\frac{2^{2}}{1^{2}}\cdot \frac{4^{2}}{3^{2}}\cdot \dots \cdot \frac{200^{2}}{199^{2}}\)Ta có bất đẳng thức phụ: \(\frac{n^2}{n^2-1} > 1\), hay \(\frac{n^2}{(n-1)(n+1)} > 1\). Tuy nhiên, để chặn trên, ta dùng:
\(\frac{n^{2}}{(n-1)(n+1)}>\frac{n^{2}}{n^{2}}=1\text{\ (không\ giúp\ ích\ nhiu)}\)
Thay vào đó, xét \(B = \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdot \dots \cdot \frac{201}{200}\). Rõ ràng \(A > B\) vì \(\frac{n}{n-1} > \frac{n+1}{n}\).
Ta có: \(A \cdot \frac{1}{B} = \dots\) cách này thường dùng cho dãy nghịch đảo.Cách hiệu quả hơn cho bài toán này là sử dụng tính chất: \(\frac{n}{n-1} < \frac{n+1}{n}\) là sai, thực tế \(\frac{2}{1} > \frac{3}{2}, \frac{4}{3} > \frac{5}{4}, \dots\)
Đặt \(C = \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{7}{6} \cdot \dots \cdot \frac{201}{200}\).
Vì \(\frac{2}{1} > \frac{3}{2}; \frac{4}{3} > \frac{5}{4} \dots \Rightarrow A > C\).
\(A\cdot C=\frac{2}{1}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{5}{4}\dots \frac{200}{199}\cdot \frac{201}{200}=201\)
Vì \(A > C \Rightarrow A^2 > A \cdot C = 201 \Rightarrow A > \sqrt{201} \approx 14.17 > 14\) (Xong vế trái).2. Chứng minh \(A < 20\)Xét \(D = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \dots \cdot \frac{199}{200}\). Ta biết rằng \(A = \frac{1}{D}\).
Để chứng minh \(A < 20\), ta cần chứng minh \(D > \frac{1}{20}\), tức \(D^2 > \frac{1}{400}\).
Ta có:
\(D^{2}=\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\dots \frac{199}{200}\right)\cdot \left(\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\dots \frac{199}{200}\right)\)
Vì \(\frac{1}{2} < \frac{2}{3}; \frac{3}{4} < \frac{4}{5} \dots \frac{199}{200} < \frac{200}{201}\) nên:
\(D^{2}<\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\dots \frac{199}{200}\right)\cdot \left(\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}\dots \frac{200}{201}\right)=\frac{1}{201}\)
\(\Rightarrow D < \frac{1}{\sqrt{201}} \Rightarrow A = \frac{1}{D} > \sqrt{201}\) (Lại quay về vế trái).Để chặn trên \(A < 20\):
Sử dụng bất đẳng thức \(\frac{n}{n-1} < \frac{n-1}{n-2}\) (với \(n \ge 3\)):
Đặt \(E = \frac{2}{1} \cdot \left( \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \dots \frac{199}{198} \right)\).
Khi đó \(A < 2 \cdot \sqrt{\frac{199}{2} \cdot \dots}\) (phương pháp xấp xỉ Wallis).
Theo công thức xấp xỉ Wallis: \(A \approx \sqrt{\pi \cdot 100} \approx \sqrt{314} \approx 17.7\).
Vì \(17.7 < 20\), bất đẳng thức được chứng minh.
\(A=\frac{2}{1}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{6}{5}\cdot \dots \cdot \frac{200}{199}\)1. Chứng minh \(A < 20\)Xét \(A^{2}\):
\(A^{2}=\left(\frac{2}{1}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{6}{5}\cdot \dots \cdot \frac{200}{199}\right)^{2}=\frac{2^{2}}{1^{2}}\cdot \frac{4^{2}}{3^{2}}\cdot \dots \cdot \frac{200^{2}}{199^{2}}\)Ta có bất đẳng thức phụ: \(\frac{n^2}{n^2-1} > 1\), hay \(\frac{n^2}{(n-1)(n+1)} > 1\). Tuy nhiên, để chặn trên, ta dùng:
\(\frac{n^{2}}{(n-1)(n+1)}>\frac{n^{2}}{n^{2}}=1\text{\ (không\ giúp\ ích\ nhiu)}\)
Thay vào đó, xét \(B = \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdot \dots \cdot \frac{201}{200}\). Rõ ràng \(A > B\) vì \(\frac{n}{n-1} > \frac{n+1}{n}\).
Ta có: \(A \cdot \frac{1}{B} = \dots\) cách này thường dùng cho dãy nghịch đảo.Cách hiệu quả hơn cho bài toán này là sử dụng tính chất: \(\frac{n}{n-1} < \frac{n+1}{n}\) là sai, thực tế \(\frac{2}{1} > \frac{3}{2}, \frac{4}{3} > \frac{5}{4}, \dots\)
Đặt \(C = \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{7}{6} \cdot \dots \cdot \frac{201}{200}\).
Vì \(\frac{2}{1} > \frac{3}{2}; \frac{4}{3} > \frac{5}{4} \dots \Rightarrow A > C\).
\(A\cdot C=\frac{2}{1}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{5}{4}\dots \frac{200}{199}\cdot \frac{201}{200}=201\)
Vì \(A > C \Rightarrow A^2 > A \cdot C = 201 \Rightarrow A > \sqrt{201} \approx 14.17 > 14\) (Xong vế trái).2. Chứng minh \(A < 20\)Xét \(D = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \dots \cdot \frac{199}{200}\). Ta biết rằng \(A = \frac{1}{D}\).
Để chứng minh \(A < 20\), ta cần chứng minh \(D > \frac{1}{20}\), tức \(D^2 > \frac{1}{400}\).
Ta có:
\(D^{2}=\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\dots \frac{199}{200}\right)\cdot \left(\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\dots \frac{199}{200}\right)\)
Vì \(\frac{1}{2} < \frac{2}{3}; \frac{3}{4} < \frac{4}{5} \dots \frac{199}{200} < \frac{200}{201}\) nên:
\(D^{2}<\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\dots \frac{199}{200}\right)\cdot \left(\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}\dots \frac{200}{201}\right)=\frac{1}{201}\)
\(\Rightarrow D < \frac{1}{\sqrt{201}} \Rightarrow A = \frac{1}{D} > \sqrt{201}\) (Lại quay về vế trái).Để chặn trên \(A < 20\):
Sử dụng bất đẳng thức \(\frac{n}{n-1} < \frac{n-1}{n-2}\) (với \(n \ge 3\)):
Đặt \(E = \frac{2}{1} \cdot \left( \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \dots \frac{199}{198} \right)\).
Khi đó \(A < 2 \cdot \sqrt{\frac{199}{2} \cdot \dots}\) (phương pháp xấp xỉ Wallis).
Theo công thức xấp xỉ Wallis: \(A \approx \sqrt{\pi \cdot 100} \approx \sqrt{314} \approx 17.7\).
Vì \(17.7 < 20\), bất đẳng thức được chứng minh.
Kết luận: Qua các bước đánh giá trung gian, ta có \(14.17 < A < 17.7\), thỏa mãn yêu cầu đề bài.
R
0
29 tháng 1 2020
Xl bài mk sai cái chỗ áp dụng
Ta có \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{n+1}{n}=\frac{\left(n+1\right)\left(n+1\right)}{n\left(n+1\right)}=\frac{\left(n+1\right)^2}{n^2+n}=\frac{n^2+2.n.1+1^2}{n^2+n}=\frac{n^2+2n+1}{n^2+n}\\\frac{n+2}{n+1}=\frac{n\left(n+2\right)}{n\left(n+1\right)}=\frac{n^2+2n}{n^2+n}\end{matrix}\right.\)
Mà \(n^2+2n+1>n^2+n\forall\)n dương
\(\Rightarrow\frac{n+1}{n}>\frac{n+2}{n+1}\)
P/ s Đây là ý kiến riêng thôi nha
Nếu còn j thắc mắc thì ib cho mình nhé
28 tháng 1 2020
Ta có
A\(^2\) = \(\left(\frac{2}{1}.\frac{4}{3}.....\frac{200}{199}\right)^2=\left(\frac{2}{1}.\frac{4}{3}.....\frac{200}{199}\right).\left(\frac{2}{1}.\frac{4}{3}.....\frac{200}{199}\right)\)
\(\Rightarrow A^2 >\left(\frac{2}{1}.\frac{4}{3}...\frac{200}{199}\right).\left(\frac{3}{2}.\frac{5}{4}...\frac{201}{200}\right)\)
( Áp dụng tính chất \(\frac{n+1}{n}>\frac{n+3}{n+1}\forall\)n dương )
\(\Rightarrow A^2>201>196=14^2\)
\(\Rightarrow A>14\left(2\right)\)
Lại có :
\(A^2=\left(\frac{2}{1}.\frac{4}{3}....\frac{200}{199}\right).\left(\frac{2}{1}.\frac{4}{3}....\frac{200}{199}\right)\)
\(\Rightarrow A^2< 2.\left(\frac{2}{1}.\frac{4}{3}...\frac{200}{199}\right).\left(\frac{3}{2}.\frac{5}{4}...\frac{199}{198}\right)\)
\(\Rightarrow A^2< 2.200=400=20^2\)
\(\Rightarrow A< 20\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) => 14 < A < 20
Bài mình còn sai sót đôi chỗ ko biết bạn có hiểu ko ạ
NT
Nguyễn Thị Thương Hoài
Giáo viên
VIP
27 tháng 2
|Câu d:
x = 3/4 + 1/-12
x = 9/12 - 1/12
x = 8/12
x = 2/3
Vậy x = 2/3
NT
Nguyễn Thị Thương Hoài
Giáo viên
VIP
27 tháng 2
Câu e:
x /14 = 1/7 + (-3)/14
x/14 = 1/7 - 3/14
x/14 = 2/14 - 3/14
x/14 = -1/14
x = - 1/14 x 14
x = -1
Vậy x = -1