a. tìm a là số tự nhiên để 17a+8 là số chính phương

Giả sử \(17a+8=x^2\Rightarrow17a-17+25=x^2\Rightarrow17\left(a-1\right)=x^2-25\Rightarrow17\left(a-1\right)=\left(x-5\right)\left(x+5\right)\)

\(\Rightarrow\left(x-5\right);\left(x+5\right)⋮17\)

\(\Rightarrow x=17n\pm5\Rightarrow a=17n^2\pm10n+1\)

a) Đặt A = 2018⁴ⁿ + 2019⁴ⁿ + 2020⁴ⁿ

= (2018⁴)ⁿ + (2019⁴)ⁿ + (2020⁴)ⁿ

= (....6)ⁿ + (....1)ⁿ + (....0)ⁿ

= (...6) + (...1) + (...0) = (....7) 

=> A không là số chính phương

b) Đặt 1995 + n = a² (1) 

2014 + n = b² (2)

a;b \(\inℤ\)

=> (2004 + n) - (1995 + n) = b² - a²

=> b² - a² = 9

=> b² - ab + ab - a² = 9

=> b(b - a) + a(b - a) = 9

=> (b + a)(b - a) = 9

Lập bảng xét các trường hợp

Từ a;b tìm được thay vào (1)(2) ta được 

n = -1979 ; n = -2014 ; 

ai nhanh tôi k cho

Tự túc là hạnh phúc! OK?

Lời giải:
Đặt $n^2-n+13=t^2$ với $t$ là số tự nhiên

$\Rightarrow 4n^2-4n+52=4t^2$

$\Leftrightarrow (4n^2-4n+1)+51=4t^2$

$\Leftrightarrow (2n-1)^2+51=(2t)^2$

$\Leftrightarrow 51=(2t)^2-(2n-1)^2=(2t-2n+1)(2t+2n-1)$

Đến đây là dạng phương trình tích cơ bản rồi. Bạn lập bảng xét giá trị để tìm ra $n$ thôi.

\(n^2+4n+1265\) là số chính phương

=>\(n^2+4n+4+1261=k^2\left(k\in Z\right)\)

=>\(\left(n+2\right)^2-k^2=-1261\)

=>(n+2-k)(n+2+k)=-1261

=>(n+2-k;n+2+k)∈{(1;-1261);(-1261;1);(-1;1261);(1261;-1);(13;-97);(-97;13);(-13;97);(97;-13)}

TH1: n+2-k=1 và n+2+k=-1261

=>n+2-k+n+2+k=1-1261

=>2n+4=-1260

=>2n=-1264

=>\(n=-\frac{1264}{2}=-632\) (loại)

TH2: n+2-k=-1261 và n+2+k=1

=>n+2-k+n+2+k=1-1261

=>2n+4=-1260

=>2n=-1264

=>\(n=-\frac{1264}{2}=-632\) (loại)

TH3: n+2-k=-1 và n+2+k=1261

=>n+2-k+n+2+k=-1+1261

=>2n+4=1260

=>2n=1260-4=1256

=>n=628(nhận)

TH4: n+2-k=1261 và n+2+k=-1

=>n+2-k+n+2+k=-1+1261

=>2n+4=1260

=>2n=1260-4=1256

=>n=628(nhận)

TH5: n+2-k=13 và n+2+k=-97

=>n+2-k+n+2+k=13-97

=>2n+4=-84

=>2n=-88

=>n=-44(loại)

TH6: n+2-k=-97 và n+2+k=13

=>n+2-k+n+2+k=13-97

=>2n+4=-84

=>2n=-88

=>n=-44(loại)

TH7: n+2-k=-13 và n+2+k=97

=>n+2-k+n+2+k=-13+97

=>2n+4=84

=>2n=80

=>n=40(nhận)

TH8: n+2-k=97 và n+2+k=-13

=>n+2-k+n+2+k=-13+97

=>2n+4=84

=>2n=80

=>n=40(nhận)

\(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)+1=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)+1=\left(n^2+3n+1\right)^2\)là chính phương
mà \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)+2\) cũng là chính phương 
\(\Leftrightarrow\left(n^2+3n+1\right)^2=0\)
pt vô nghiệm

ok pạn Phạm thế mạnh

Gọi số cần tìm là a 
Suy ra (a+2) chia hết cho cả 3,4,5,6 
Vậy (a+2) là Bội chung của 3,4,5,6 
=>(a+2)=60k (với k thuôc N) 
vì a chia hết 11 nên 
60k chia 11 dư 2 
<=>55k+5k chia 11 dư 2 
<=>5k chia 11 dư 2 
<=>k chia 11 dư 7 
=>k=11d+7 (với d thuộc N) 
Suy ra số cần tìm là a=60k-2=60(11d+7)-2=660d+418 (với d thuộc N)