ĐK: \(x\ge-1\)

\(\frac{pt\Leftrightarrow\sqrt{x+1}\sqrt{x^2-x+1}}{\sqrt{x+3}}+\sqrt{x+1}=\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x+3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+3}}\left(\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x+3}\right)=\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x+3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+3}}=1\text{ (do }\sqrt{x^2-x+1}>0\text{)}\)

\(\Leftrightarrow...\)

ĐKXĐ: \(x>2;y>1\)

Khi đó Pt \(\Leftrightarrow\)\(\frac{36}{\sqrt{x-2}}+4\sqrt{x-2}+\frac{4}{\sqrt{y-1}}+\sqrt{y-1}=28\)

theo BĐT Cô si ta có \(\frac{36}{\sqrt{x-2}}+4\sqrt{x-2}\ge2.\sqrt{\frac{36}{\sqrt{x-2}}.4\sqrt{x-2}=24}\)

                                  và \(\frac{4}{\sqrt{y-1}}+\sqrt{y-1}\ge2\sqrt{\frac{4}{\sqrt{y-1}}.\sqrt{y-1}}=4\)

Pt đã cho có VT>= 28 Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)

\(\frac{36}{\sqrt{x-2}}=4\sqrt{x-2}\Leftrightarrow x=11\)

và \(\frac{4}{\sqrt{y-1}}=\sqrt{y-1}\Leftrightarrow y=5\)

Đối chiếu với ĐK thì x=11; y=5 là nghiệm của PT

Ê Thắng tưởng off dòi mờ...nhanh thế....

Đặt \(\sqrt[3]{1-x}=a;\text{ }\sqrt[3]{1+x}=b\Rightarrow a^3+b^3=2\)

Pt đã cho trở thành \(a+b=1\Leftrightarrow b=1-a\)

Suy ra: \(a^3+\left(1-a\right)^3=2\Leftrightarrow3a^2-3a-1=0\Leftrightarrow a=\frac{3\pm\sqrt{21}}{6}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt[3]{1-x}=\frac{3\pm\sqrt{21}}{6}\Leftrightarrow x=1-\left(\frac{3\pm\sqrt{21}}{6}\right)^3\)

\(VT=1.\sqrt{x}+2.\sqrt{x+3}\le\frac{x+1}{2}+\frac{2^2+x+3}{2}=x+4=VP\)

ĐK: \(x\ne0;\pm\sqrt{2}\)

Đặt \(x=a;\text{ }\sqrt{2-x^2}=b\Rightarrow a^2+b^2=2\text{ (1)}\)

pt đã cho: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2\Leftrightarrow a+b=2ab\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-2ab=2\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)-2=0\)

\(\Leftrightarrow a+b=-1\text{ hoặc }a+b=2\)

\(+TH1:\text{ }a+b=-1\Rightarrow x+\sqrt{2-x^2}=-1\Leftrightarrow\sqrt{2-x^2}=-x-1\)

\(\Rightarrow2-x^2=\left(-x-1\right)^2\Leftrightarrow2x^2+2x-1=0\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{-1\pm\sqrt{3}}{2}\)

\(TH2:\text{ }a+b=2\) tương tự

Do dùng khá nhiều phép suy ra nên phải thử lại các nghiệm trước khi kết luận.

a: ĐKXĐ: \(\begin{cases}x-2\ge0\\ x+1\ge0\\ x^2-x-2\ge0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x\ge2\\ x\ge-1\\ \left(x-2\right)\left(x+1\right)\ge0\end{cases}\)

=>x>=2

Ta có: \(3x + 14 + 5\sqrt{x-2} = 7\left(\sqrt{x+1} + \sqrt{x^2 - x - 2}\right)\) (1)

Đặt \(a=\sqrt{x-2};b=\sqrt{x+1}\) (ĐIều kiện: a>=0; b>0)

=>\(ab=\sqrt{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=\sqrt{x^2-x-2}\)

\(b^2-a^2=x+1-\left(x-2\right)=3\)

\(b^2-1=x+1-1=x\)

=>\(3x+14=3\left(b^2-1\right)+14=3b^2+11\)

(1) sẽ tương đương: \(3b^2+11+5a=7b+7ab\)

=>\(3b^2-7b+11+a(5-7b)=0\)

=>\((b - 2)(40b^3 + 52b^2 - 133b + 98) = 0\)

=>b-2=0

=>b=2

=>x+1=4

=>x=3

b: ĐKXĐ: 7/3<=x<=7

\(7\sqrt{3x-7}+(4x-7)\sqrt{7-x}=32\left(2\right)\)

Đặt \(a=\sqrt{3x-7};b=\sqrt{7-x}\)

=>\(a^2+b^2=3x-7+7-x=2x\)

\(3a^2+b^2=3\left(3x-7\right)+7-x=9x-21+7-x=8x-14\)

\(3x-7=a^2\)

=>\(3x=a^2+7\)

=>\(x=\frac{a^2+7}{3}\)

=>\(4x-7=4\cdot\frac{a^2+7}{3}-7=\frac{4\left(a^2+7\right)-21}{3}=\frac{4a^2+7}{3}\)

(2) sẽ trở thành: \(7a+\frac{4a^2+7}{3}b=32\iff21a+(4a^2+7)b=96\)

mà \(a^2 + 3b^2 = 14\)

nên \(a=\sqrt5;b=\sqrt3\)

=>3x-7=5

=>3x=12

=>x=4(nhận)