CMR : \(S=\frac{1}{^{2^2}}+\frac{1}{^{4^2}}+\frac{1}{^{6^2}}+....+\frac{1}{^{200^2}}<\frac{1}{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
XO
9 tháng 11 2019
1) Tính C
\(C=\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+....+\frac{n-1}{n!}\)
\(=\frac{2-1}{2!}+\frac{3-1}{3!}+\frac{4-1}{4!}+...+\frac{n-1}{n!}\)
\(=1-\frac{1}{2!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{3!}-\frac{1}{4!}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)!}-\frac{1}{n!}\)
\(=1-\frac{1}{n!}\)
XO
9 tháng 11 2019
3) a) Ta có : \(P=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{199}-\frac{1}{200}\)
\(=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{199}+\frac{1}{200}-2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{200}\right)\)
\(=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{199}+\frac{1}{200}-1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-...-\frac{1}{100}\)
\(=\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+....+\frac{1}{199}+\frac{1}{200}\left(đpcm\right)\)
LS
8 tháng 12 2018
Hoe..>>
Bài này mk gặp rồi nhờ cô giải hộ mà giờ mk quên mất tiêu rồi
Xin lỗi bn nha, mk k thể giúp đc rồi!
8 tháng 12 2018
hxbdsajfvgfchgcvetrfgeffbaw4bcdxrfbwebctfdefvewbdrgbwdgberhgcvergcdfbrbcftvvtgcbeftbckberfdkjuebfcbtuvrvbtkbr
11 tháng 7
Bài toán yêu cầu chứng minh bất đẳng thức cho biểu thức \(S\):\(S=\frac{2}{1}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{8}{7}\cdots \frac{200}{199}\)Chứng minh rằng: \(201 < S^2 < 400\).1. Chứng minh \(S^2 < 400\)Ta có mỗi phân số trong tích \(S\) đều có dạng \(\frac{2n}{2n-1}\).
Dễ dàng thấy \(\frac{2n}{2n-1} < 2\) (với \(n \ge 1\)), nhưng cách này không giúp chặn được \(S^2 < 400\).Xét \(S\) gồm 100 phân số:
\(S=\left(\frac{2}{1}\right)\left(\frac{4}{3}\right)\left(\frac{6}{5}\right)\dots \left(\frac{200}{199}\right)\)Ta có bất đẳng thức: \(\frac{2n}{2n-1} < \frac{2n+1}{2n}\) với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\).
Gọi \(A = \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{7}{6} \cdots \frac{201}{200}\).
Khi đó: \(S < A\).
\(\Rightarrow S^2 < S \cdot A = \left( \frac{2}{1} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{6}{5} \cdots \frac{200}{199} \right) \cdot \left( \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{7}{6} \cdots \frac{201}{200} \right)\)
\(\Rightarrow S^2 < \frac{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdots 200 \cdot 201}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdots 199 \cdot 200} = 201\)Vì \(S^2 < 201\) nên hiển nhiên \(S^2 < 400\).2. Chứng minh \(201 < S^2\)Ta sử dụng bất đẳng thức: \(\frac{2n}{2n-1} > \frac{2n+1}{2n}\) là sai, ta cần so sánh ngược lại.
Xét \(B = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdots \frac{199}{200}\). Ta thấy \(S = \frac{1}{B}\).Ta có bất đẳng thức: \(\frac{2n-1}{2n} < \frac{2n}{2n+1}\) (vì \((2n-1)(2n+1) = 4n^2 - 1 < 4n^2\)).
Áp dụng cho từng thừa số của \(B\):
\(B<\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdots \frac{200}{201}\)
\(\Rightarrow B^2 < B \cdot \left( \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdots \frac{200}{201} \right) = \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdots \frac{199}{200} \right) \cdot \left( \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdots \frac{200}{201} \right)\)
\(\Rightarrow B^2 < \frac{1}{201}\)Vì \(S = \frac{1}{B} \Rightarrow S^2 = \frac{1}{B^2}\).
Do \(B^2 < \frac{1}{201} \Rightarrow \frac{1}{B^2} > 201\).
Vậy \(S^2 > 201\).Kết luận: \(201 < S^2 < 400\) (đpcm).
Dễ dàng thấy \(\frac{2n}{2n-1} < 2\) (với \(n \ge 1\)), nhưng cách này không giúp chặn được \(S^2 < 400\).Xét \(S\) gồm 100 phân số:
\(S=\left(\frac{2}{1}\right)\left(\frac{4}{3}\right)\left(\frac{6}{5}\right)\dots \left(\frac{200}{199}\right)\)Ta có bất đẳng thức: \(\frac{2n}{2n-1} < \frac{2n+1}{2n}\) với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\).
Gọi \(A = \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{7}{6} \cdots \frac{201}{200}\).
Khi đó: \(S < A\).
\(\Rightarrow S^2 < S \cdot A = \left( \frac{2}{1} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{6}{5} \cdots \frac{200}{199} \right) \cdot \left( \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{7}{6} \cdots \frac{201}{200} \right)\)
\(\Rightarrow S^2 < \frac{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdots 200 \cdot 201}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdots 199 \cdot 200} = 201\)Vì \(S^2 < 201\) nên hiển nhiên \(S^2 < 400\).2. Chứng minh \(201 < S^2\)Ta sử dụng bất đẳng thức: \(\frac{2n}{2n-1} > \frac{2n+1}{2n}\) là sai, ta cần so sánh ngược lại.
Xét \(B = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdots \frac{199}{200}\). Ta thấy \(S = \frac{1}{B}\).Ta có bất đẳng thức: \(\frac{2n-1}{2n} < \frac{2n}{2n+1}\) (vì \((2n-1)(2n+1) = 4n^2 - 1 < 4n^2\)).
Áp dụng cho từng thừa số của \(B\):
- \(\frac{1}{2} < \frac{2}{3}\)
- \(\frac{3}{4} < \frac{4}{5}\)
- ...
- \(\frac{199}{200} < \frac{200}{201}\)
\(B<\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdots \frac{200}{201}\)
\(\Rightarrow B^2 < B \cdot \left( \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdots \frac{200}{201} \right) = \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdots \frac{199}{200} \right) \cdot \left( \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdots \frac{200}{201} \right)\)
\(\Rightarrow B^2 < \frac{1}{201}\)Vì \(S = \frac{1}{B} \Rightarrow S^2 = \frac{1}{B^2}\).
Do \(B^2 < \frac{1}{201} \Rightarrow \frac{1}{B^2} > 201\).
Vậy \(S^2 > 201\).Kết luận: \(201 < S^2 < 400\) (đpcm).