Bài 5 : Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB và một điểm E di động trên nửa đường tròn đó (E không trùng với A và B ) Vẽ các tia tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Tia AE cắt By tại C, tia BE cắt Ax tại D
a. CMR tích AD.BC không đổi
b. Tiếp tuyến tại E của nửa đường tròn cắt Ax,By theo thứ tự tại M và N. CMR ba đường thẳng MN,AB,CD đồng quy hoặc song song với nhau
c. Xác định vị trí của điểm E trên nửa đường tròn để diện tich tứ giác ABCD nhỏ nhất. Tính diện tich nhỏ nhất đó
Bài 6: Cho đoạn thẳng AB cố định. Vẽ đường tròn (O) tiếp xúc với AB tại A, đường tròn (O') tiếp xúc với AB tại B. Hai đường tròn này luôn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và luôn tiếp xúc ngoài với nhau. Hỏi tiếp điểm M của hai đường tròn di động trên đường nào ?
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: Xét (O) có
ΔAKB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAKB vuông tại K
=>AK⊥EB tại K
Xét ΔEAB vuông tại A có AK là đường cao
nên \(AE^2=EK\cdot EB\)
b: Xét (O) có
EA,ED là các tiếp tuyến
Do đó: EA=ED
=>E nằm trên đường trung trực của AD(1)
OA=OD
=>O nằm trên đường trung trực của AD(2)
Từ (1),(2) suy ra OE là đường trung trực của AD
=>OE⊥AD
Xét (O) có
ΔADB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔADB vuông tại D
=>DA⊥DB
mà OE⊥AD
nên OE//BD
a: Xét (O) có
CM,CA là các tiếp tuyến
Do đó: CM=CA và OC là phân giác của góc MOA
Xét (O) có
DM,DB là các tiếp tuyến
Do đó: DM=DB và OD là phân giác của góc MOB
Ta có: OC là phân giác của góc MOA
=>\(\hat{MOA}=2\cdot\hat{MOC}\)
Ta có: OD là phân giác của góc MOB
=>\(\hat{MOB}=2\cdot\hat{MOD}\)
Ta có: \(\hat{MOA}+\hat{MOB}=180^0\) (hai góc kề bù)
=>\(2\left(\hat{MOC}+\hat{MOD}\right)=180^0\)
=>\(2\cdot\hat{COD}=180^0\)
=>\(\hat{COD}=\frac{180^0}{2}=90^0\)
b: Ta có: AC⊥BA
BD⊥BA
Do đó: AC//BD
Xét ΔNCA và ΔNBD có
\(\hat{NCA}=\hat{NBD}\) (hai góc so le trong, CA//BD)
\(\hat{CNA}=\hat{BND}\) (hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔNCA~ΔNBD
=>\(\frac{NC}{NB}=\frac{NA}{ND}=\frac{CA}{BD}=\frac{CM}{MD}\)
Xét ΔCBD có \(\frac{CM}{MD}=\frac{CN}{NB}\)
nên MN//BD
=>MN⊥AB
c: Xét ΔOCD vuông tại O có OM là đường cao
nên \(MC\cdot MD=OM^2\)
=>\(AC\cdot BD=R^2\) không đổi khi M di chuyển trên (O)
a: Xét (O) có
CM,CA là các tiếp tuyến
Do đó: CM=CA và OC là phân giác của góc MOA
Xét (O) có
DM,DB là các tiếp tuyến
Do đó: DM=DB và OD là phân giác của góc MOB
Ta có: OC là phân giác của góc MOA
=>\(\hat{MOA}=2\cdot\hat{MOC}\)
Ta có: OD là phân giác của góc MOB
=>\(\hat{MOB}=2\cdot\hat{MOD}\)
Ta có: \(\hat{MOA}+\hat{MOB}=180^0\) (hai góc kề bù)
=>\(2\left(\hat{MOC}+\hat{MOD}\right)=180^0\)
=>\(2\cdot\hat{COD}=180^0\)
=>\(\hat{COD}=\frac{180^0}{2}=90^0\)
b: Ta có: AC⊥BA
BD⊥BA
Do đó: AC//BD
Xét ΔNCA và ΔNBD có
\(\hat{NCA}=\hat{NBD}\) (hai góc so le trong, CA//BD)
\(\hat{CNA}=\hat{BND}\) (hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔNCA~ΔNBD
=>\(\frac{NC}{NB}=\frac{NA}{ND}=\frac{CA}{BD}=\frac{CM}{MD}\)
Xét ΔCBD có \(\frac{CM}{MD}=\frac{CN}{NB}\)
nên MN//BD
=>MN⊥AB
c: Xét ΔOCD vuông tại O có OM là đường cao
nên \(MC\cdot MD=OM^2\)
=>\(AC\cdot BD=R^2\) không đổi khi M di chuyển trên (O)
a) Xét tứ giác AMCO có
\(\widehat{MAO}\) và \(\widehat{MCO}\) là hai góc đối
\(\widehat{MAO}+\widehat{MCO}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)
Do đó: AMCO là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
Xét (O) có
\(\widehat{ADB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
nên \(\widehat{ADB}=90^0\)(Hệ quả góc nội tiếp)
hay AD\(\perp\)MB tại D
Xét (O) có
MA là tiếp tuyến có A là tiếp điểm(gt)
MC là tiếp tuyến có C là tiếp điểm(gt)
Do đó: MA=MC(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Ta có: MA=MC(cmt)
nên M nằm trên đường trung trực của AC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)
Ta có: OA=OC(=R)
nên O nằm trên đường trung trực của AC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)
Từ (1) và (2) suy ra MO là đường trung trực của AC
hay MO\(\perp\)AC tại E
Xét tứ giác AMDE có
\(\widehat{ADM}=\widehat{AEM}\left(=90^0\right)\)
\(\widehat{ADM}\) và \(\widehat{AEM}\) là hai góc cùng nhìn cạnh AM
Do đó: AMDE là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
a: Xét tứ giác PAOM có
góc PAO+góc PMO=180 độ
=>PAOM là tứ giác nội tiếp
b: Xét (O) có
PA,PM là tiếp tuyến
nên PA=PM và OP là phân giác của góc MOA(1)
mà OA=OM
nên OP là trung trực của AM
=>OP vuông góc AM
Xét (O) có
QM,QB là tiếp tuyến
nên QM=QB và OQ là phân giác của góc MOB(2)
mà OM=OB
nên OQ là trung trực của MB
=>OQ vuông góc MB tại K
Từ (1), (2) suy ra góc POQ=1/2*180=90 độ
Xét tứ giác MIOK có
góc MIO=góc MKO=góc IOK=90 độ
=>MIOK là hình chữ nhật
Xét ΔOPQ vuông tại O có OM là đường cao
nên MP*MQ=OM^2=R^2
=>AP*QB=OM^2=R^2 ko đổi
c: Gọi giao điểm của BC với Ax là K
BC\(\perp\)AC tại C
=>AC\(\perp\)BK tại K
=>ΔACK vuông tại C
\(\widehat{DKC}+\widehat{DAC}=90^0\)(ΔACK vuông tại C)
\(\widehat{DCK}+\widehat{DCA}=\widehat{KCA}=90^0\)
mà \(\widehat{DCA}=\widehat{DAC}\)(ΔDAC cân tại D)
nên \(\widehat{DKC}=\widehat{DCK}\)
=>DC=DK
mà DC=DA
nên DK=DA
=>D là trung điểm của AK
CH\(\perp\)AB
AK\(\perp\)AB
Do đó: CH//AK
Xét ΔOKD có CI//KD
nên \(\dfrac{CI}{KD}=\dfrac{OI}{OD}\left(1\right)\)
Xét ΔOAD có IH//AD
nên \(\dfrac{IH}{AD}=\dfrac{OI}{OD}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{CI}{KD}=\dfrac{IH}{AD}\)
mà KD=AD
nên CI=IH
=>I là trung điểm của CH
1: Xét (I) có
ΔAMC nội tiếp
AC là đường kính
Do đó: ΔAMC vuông tại M
=>CM⊥DA tại M
Xét (J) có
ΔCNB nội tiếp
CB là đường kính
Do đó: ΔCNB vuông tại N
=>CN⊥DB tại N
Xét (O) có
ΔDAB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔDAB vuông tại D
=>\(\hat{ADB}=90^0\)
Xét tứ giác DMCN có \(\hat{DMC}=\hat{DNC}=\hat{MDN}=90^0\)
nên DMCN là hình chữ nhật
2: Xét ΔDCA vuông tại C có CM là đường cao
nên \(DM\cdot DA=DC^2\left(1\right)\)
Xét ΔDCB vuông tại C có CN là đường cao
nên \(DN\cdot DB=DC^2\) (2)
Từ (1),(2) suy ra \(DM\cdot DA=DN\cdot DB\)
=>\(\frac{DM}{DB}=\frac{DN}{DA}\)
Xét ΔDMN vuông tại D và ΔDBA vuông tại D có
\(\frac{DM}{DB}=\frac{DN}{DA}\)
Do đó: ΔDMN~ΔDBA
=>\(\hat{DMN}=\hat{DBA}\)
mà \(\hat{DMN}+\hat{AMN}=180^0\) (hai góc kề bù)
nên \(\hat{AMN}+\hat{ABN}=180^0\)
=>AMNB là tứ giác nội tiếp
c: ΔDNM~ΔDAB
=>\(\hat{DNM}=\hat{DAB}\)
Gọi Dx là tiếp tuyến tại D của (O)
=>OD⊥ Dx tại D
Xét (O) có
\(\hat{xDB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Dx và dây cung DB
\(\hat{DAB}\) là góc nội tiếp chắn cung DB
Do đó: \(\hat{xDB}=\hat{DAB}\)
=>\(\hat{xDB}=\hat{DNM}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong
nên Dx//MN
=>MN⊥OD
a: Xét (O) có
ΔACB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó:ΔACB vuông tại C
Xét (O) có
DC,DA là tiếp tuyến
Do đó: DC=DA
Xét (O)có
EC,EB là tiếp tuyến
Do đó: EC=EB
DC+CE=DE
mà DC=DA và EC=EB
nên DA+EB=DE
b: Xét tứ giác DAOC có \(\widehat{DAO}+\widehat{DCO}=90^0+90^0=180^0\)
=>DAOC là tứ giác nội tiếp
=>D,A,O,C cùng thuộc một đường tròn
Xét ΔOAC có OA=OC=R
nên ΔOAC cân tại O
ADCO là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{ADO}=\widehat{ACO}\)
mà \(\widehat{ACO}=\widehat{OAC}\)(ΔOAC cân tại O)
nên \(\widehat{ADO}=\widehat{OAC}=\widehat{CAB}\)