b: \(\dfrac{AB\cdot BC}{2}\cdot sinB\)

\(=\dfrac{AB\cdot BC}{2}\cdot\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}\)

\(=S_{ABC}\)

a: Xét ΔABD vuông tại A có tan ABD=AD/AB

Xét ΔCBA có BD là phân giác

nên AD/AB=CD/BC

=>\(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{CD}{BC}=\dfrac{AD+CD}{AB+BC}=\dfrac{AC}{AB+BC}\)

=>\(tan\left(ABD\right)=\dfrac{AC}{AB+BC}\)

Lời giải:

Với $I$ là trung điểm của $BC$ thì \(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\)

Ta có:

\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC}\)

\(=2\overrightarrow{AI}+(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC})\)

\(=2\overrightarrow{AI}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\) (đpcm)

b) Gọi giao điểm của $AG$ với $BC$ là $T$

\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GC}\)

\(=2\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GI}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{GI}+\overrightarrow{IC}\)

\(=2\overrightarrow{AG}+2\overrightarrow{GI}\)

Theo tính chất đường trung tuyến thì \(\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{GI}\) nên:

\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{AG}=3\overrightarrow{AG}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\)

Bn vẽ đ.p.g. của \(\widehat{ABC}\) ròi sử dụng tính chất của đ.p.d. trong \(\Delta ABC\) vs tính chất của dãy tỉ số bằng nhau nx (^~^)

Hình gửi kèm

Bạn viết đầu bài đầy đủ hơn nhé!

Xin lỗi mình viết nhầm!

Kẻ PD và BE vuông góc AC

Định lý phân giác: \(\dfrac{AN}{NC}=\dfrac{AB}{BC}\Rightarrow\dfrac{AN}{AN+NC}=\dfrac{AB}{AB+BC}\Rightarrow\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{AB}{AB+BC}=\dfrac{c}{a+c}\)

Tương tự: \(\dfrac{AP}{AB}=\dfrac{b}{a+b}\)

Talet: \(\dfrac{PD}{BE}=\dfrac{AP}{AB}\)

\(\dfrac{S_{APN}}{S_{ABC}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}PD.AN}{\dfrac{1}{2}BE.AC}=\dfrac{AP}{AB}.\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)

Tương tự: \(\dfrac{S_{BPM}}{S_{ABC}}=\dfrac{ac}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\) ; \(\dfrac{S_{CMN}}{S_{ABC}}=\dfrac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)

\(\Rightarrow\dfrac{S_{APN}+S_{BPM}+S_{CMN}}{S_{ABC}}=\dfrac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\dfrac{ac}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)

\(\Rightarrow\dfrac{S_{MNP}}{S_{ABC}}=\dfrac{S_{ABC}-\left(S_{APN}+S_{BPM}+S_{CMN}\right)}{S_{ABC}}=1-\left(\dfrac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\dfrac{ac}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\right)\)

\(=\dfrac{2abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

2. Do ABC cân tại C \(\Rightarrow AC=BC=a\)

\(\dfrac{BC}{AB}=k\Rightarrow AB=\dfrac{BC}{k}=\dfrac{a}{k}\)

Do đó:

\(\dfrac{S_{MNP}}{S_{ABC}}=\dfrac{2abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=\dfrac{2.a.a.\dfrac{a}{k}}{2a.\left(a+\dfrac{a}{k}\right)\left(a+\dfrac{a}{k}\right)}=\dfrac{k}{\left(k+1\right)^2}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\dfrac{abc}{a^2+bc}\le\dfrac{abc}{2a\sqrt{bc}}=\dfrac{\sqrt{bc}}{2}\le\dfrac{b+c}{4}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:

\(abc.VT\le\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{4}=1\Leftrightarrow VT\le\dfrac{1}{abc}=VP\)

Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{2}{3}\)

Bài 2:ĐKXĐ: x<>0

\(2\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-x-\frac{1}{x}=6\)

=>\(2\left\lbrack\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2\cdot x\cdot\frac{1}{x}\right\rbrack-\left(x+\frac{1}{x}\right)=6\)

=>\(2\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-4-\left(x+\frac{1}{x}\right)-6=0\)

=>\(2\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-\left(x+\frac{1}{x}\right)-10=0\)

=>\(2\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-5\left(x+\frac{1}{x}\right)+4\left(x+\frac{1}{x}\right)-10=0\)

=>\(\left(x+\frac{1}{x}\right)\left\lbrack2\left(x+\frac{1}{x}\right)-5\right\rbrack+2\cdot\left\lbrack2\left(x+\frac{1}{x}\right)-5\right\rbrack=0\)

=>\(\left(x+\frac{1}{x}+2\right)\left(2x+\frac{2}{x}-5\right)=0\)

=>\(\frac{x^2+2x+1}{x}\cdot\frac{2x^2-5x+2}{x}=0\)

=>\(\left(x+1\right)^2\left(2x^2-5x+2\right)=0\)

=>\(\left(x+1\right)^2\cdot\left(x-2\right)\left(2x-1\right)=0\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x+1=0\\ x-2=0\\ 2x-1=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=-1\left(nhận\right)\\ x=2\left(nhận\right)\\ x=\frac12\left(nhận\right)\end{array}\right.\)

Bài 1:

a: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=6^2+8^2=100=10^2\)

=>BC=10

Xét ΔABC có AD là phân giác

nên \(\frac{BD}{AB}=\frac{CD}{AC}\)

=>\(\frac{BD}{6}=\frac{CD}{8}\)

mà BD+CD=BC=10

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{BD}{6}=\frac{CD}{8}=\frac{BD+CD}{6+8}=\frac{10}{14}=\frac57\)

=>\(\begin{cases}BD=6\cdot\frac57=\frac{30}{7}\\ CD=8\cdot\frac57=\frac{40}{7}\end{cases}\)

b: Xét ΔCEB có AD//EB

nên \(\frac{CA}{AE}=\frac{CD}{DB}\)

=>\(\frac{8}{AE}=\frac43=\frac86\)

=>AE=6(cm)

c: Ta có: DI⊥AC

AB⊥CA

Do đó: DI//AB

Xét ΔCAB có DI//AB

nên \(\frac{CI}{IA}=\frac{CD}{DB}\)

=>\(\frac{CI}{IA}=\frac{CA}{AB}\)