1) Với x > 0 ta có:

\(x+\dfrac{1}{x}\ge2\\ \Leftrightarrow\dfrac{x^2+1}{x}\ge\dfrac{2x}{x}\\ \Leftrightarrow x^2+1\ge2x\left(\text{vì }x>0\right)\\ \Leftrightarrow x^2-2x+1\ge0\\ \Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\ge0\left(\text{luôn đúng }\forall x>0\right)\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=1\). Vậy BĐT được chứng mình với x > 0.

1: Áp dụng Bđt cosi, ta được:

\(x+\dfrac{1}{x}\ge2\cdot\sqrt{x\cdot\dfrac{1}{x}}=2\)

2: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)

=>\(\frac{xy+yz+xz}{xyz}=0\)

=>xy+yz+xz=0

=>xy=-xz-yz; yz=-xy-xz; xz=-xy-yz

\(x^2+2yz=x^2+yz+yz\)

\(=x^2+yz-xy-xz=x\left(x-y\right)-z\left(x-y\right)=\left(x-y\right)\left(x-z\right)\)

\(y^2+2xz=y^2+xz+xz\)

\(=y^2+xz-xy-yz=y^2-xy+xz-yz\)

=y(y-x)+z(x-y)

=z(x-y)-y(x-y)=(x-y)(z-y)

\(z^2+2xy\)

\(=z^2+xy+xy\)

\(=z^2+xy-yz-xz\)

\(=z^2-xz+xy-yz=z\left(z-x\right)+y\left(x-z\right)=\left(x-z\right)\left(y-z\right)\)

\(A=\frac{yz}{x^2+2yz}+\frac{xz}{y^2+2xz}+\frac{xy}{z^2+2xy}\)

\(=\frac{yz}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}+\frac{xz}{\left(x-y\right)\left(z-y\right)}+\frac{xy}{\left(x-z\right)\left(y-z\right)}\)

\(=\frac{yz\left(y-z\right)-xz\left(x-z\right)+xy\left(x-y\right)}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)\left(y-z\right)}=\frac{y^2z-yz^2-x^2z+xz^2+x^2y-xy^2}{\left(x-y\right)\cdot\left(x-z\right)\left(y-z\right)}\)

\(=\frac{z\left(y^2-x^2\right)+z^2\left(x-y\right)+xy\left(x-y\right)}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)\left(y-z\right)}=\frac{\left(x-y\right)\left\lbrack-z\left(x+y\right)+z^2+xy\right\rbrack}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)\left(y-z\right)}\)

\(=\frac{-xz-yz+z^2+xy}{\left(x-z\right)\left(y-z\right)}=\frac{z^2-yz-xz+xy}{\left(x-z\right)\left(y-z\right)}=\frac{z\left(z-y\right)-x\left(z-y\right)}{\left(x-z\right)\left(y-z\right)}=\frac{\left(z-x\right)\left(z-y\right)}{\left(z-x\right)\left(z-y\right)}\)

=1

Ta có a/(a+b+c)<a/(a+b)<a+c/a+b+c ( Cái này là vì a/a+b <1)

Tương tự vậy với mấy cái kia cx thế cộng theo vế là ra nha bạn 

Có ai giải rõ hơn k z ???

1/c = 1/2(1/a+1/b)   ( a,b,c khác 0 )

=> 1/a +1/b = 2/c => 1/a + 1/b - 2/c = 0

có nghĩa là : bc/abc + ac/abc - 2ab/abc =0     

=> bc+ac-2ab = 0

bc - ab + ac - ab = 0

b(c-a) + a(c-b) = 0

=> a(c-b) = b(a-c)

=>a/b = (a-c)/(c-b)    ( vì b khác 0 ; b khác c nên c-b khác 0 )

Vậy a/b = (a-c)/(c-b) 

M là trung điểm của AC => AM = MC = AC/2

gọi ME // AC => góc BME = góc MAN ( vì là 2 góc đồng vị )

Vì MN // BC => góc MBE = góc AMN ( vì là 2 góc đồng vị )

Xét tam giác MBE và tam giác AMN có : AM = MC 

                                                                góc BME = góc MAN

                                                               góc MBE = góc AMN

=> tam giác MBE = tam giác AMN ( g.c.g )

=> ME = AN ( là 2 cạnh tương ứng )                 (1)

nối N với E

ME // AC => góc MEN = góc ENC ( vì là 2 góc so le trong )

MN // BC => góc MNE = góc NEC ( vì là 2 góc so le trong )

Xét tam giác MEN và tam giác CNE có : NE là cạnh chung 

                                                                góc MEN = góc ENC

                                                                góc MNE = góc NEC 

=> tam giác MEN = tam giác CNE ( g.c.g)

=> ME = NC ( vì là 2 cạnh tương ứng )                   ( 2 )

Từ (1) và (2) => AN=ME=NC 

                   hay  AN = NC ( ĐPCM )

Ta có \(VP=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ac}\)\(\left(a,b,c\ne0\right)\)

\(=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2a+2b+2c}{abc}\)

\(=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2.\left(a+b+c\right)}{abc}\)\(=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+0=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=VT\)

Vậy đẳng thức được chứng minh

a²+b²+c²=(a+b+c)²<=> ab+bc+ca=0

\(\Rightarrow S=\frac{a^2}{a^2+bc-\left(ab+ca\right)}+\frac{b^2}{b^2+ac-\left(ab+bc\right)}+\frac{c^2}{c^2+ab-\left(bc+ca\right)}\)

\(=\frac{a^2}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}-\frac{b^2}{\left(b-c\right)\left(a-b\right)}-\frac{c^2}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)

\(=\frac{a^2\left(b-c\right)-b^2\left(a-c\right)-c^2\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=\frac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=1\)

M  tương tự