1.

a. Ta có: \(AB^2+AC^2=6^2+8^2=36+64=100\)

\(BC^2=10^2=100\)

 \(\Rightarrow AB^2+AC^2=BC^2\) \(\Rightarrow\Delta\)ABC vuông tại A

b. \(\Delta\)ABC vuông tại A, đường cao AH. Ta có:

AB.AC = AH.BC

hay 6.8 = AH.10

=> AH = \(\dfrac{6.8}{10}=4.8\)

Bài 4:

a: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=5^2-3^2=25-9=16=4^2\)

=>AC=4(cm)

Xét ΔBAC có BD là phân giác

nên \(\frac{DA}{DC}=\frac{BA}{BC}=\frac35\)

=>\(\frac{DA}{3}=\frac{DC}{5}\)

mà DA+DC=AC=4cm

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{DA}{3}=\frac{DC}{5}=\frac{DA+DC}{3+5}=\frac48=0,5\)

=>\(\begin{cases}DA=3\cdot0,5=1,5\left(\operatorname{cm}\right)\\ DC=5\cdot0,5=2,5\left(\operatorname{cm}\right)\end{cases}\)

b: ΔABD vuông tại A

=>\(AB^2+AD^2=BD^2\)

=>\(BD^2=3^2+1,5^2=9+2,25=11,25=\frac{45}{4}\)

=>\(BD=\frac{3\sqrt5}{2}\left(\operatorname{cm}\right)\)

BÀi 3:

a: Xét ΔCHA vuông tại H và ΔCAB vuông tại A có

\(\hat{HCA}\) chung

Do đó: ΔCHA~ΔCAB

=>\(\frac{CH}{CB}=\frac{AH}{AB}=\frac{CA}{CB}\)

=>\(\frac{AH}{AC}=\frac{BA}{BC}\)

=>\(\frac{BA}{BC}=\frac35\)

=>15/BC=3/5=15/25

=>BC=25(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AB^2=BH\cdot BC\)

=>BH=15^2/25=9(cm)

BH+HC=BC

=>HC=25-9=16(cm)

b: Xét tứ giác AEHF có \(\hat{AEH}=\hat{AFH}=\hat{FAE}=90^0\)

nên AEHF là hình chữ nhật

=>AH=EF

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(EF\cdot BC=AB\cdot AC\)

BÀi 2:

a: Xét ΔABC có \(AB^2+AC^2=BC^2\)

nên ΔABC vuông tại A

b: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot20=12\cdot16=192\)

=>AH=192/20=9,6(cm)
Bài 1:

a: Xét ΔABC có \(AB^2+AC^2=BC^2\)

nên ΔABC vuông tại A

b: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>AH*10=6*8=48

=>AH=4,8(cm)

Bài 4:

a: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=5^2-3^2=25-9=16=4^2\)

=>AC=4(cm)

Xét ΔBAC có BD là phân giác

nên \(\frac{DA}{DC}=\frac{BA}{BC}=\frac35\)

=>\(\frac{DA}{3}=\frac{DC}{5}\)

mà DA+DC=AC=4cm

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{DA}{3}=\frac{DC}{5}=\frac{DA+DC}{3+5}=\frac48=0,5\)

=>\(\begin{cases}DA=3\cdot0,5=1,5\left(\operatorname{cm}\right)\\ DC=5\cdot0,5=2,5\left(\operatorname{cm}\right)\end{cases}\)

b: ΔABD vuông tại A

=>\(AB^2+AD^2=BD^2\)

=>\(BD^2=3^2+1,5^2=9+2,25=11,25=\frac{45}{4}\)

=>\(BD=\frac{3\sqrt5}{2}\left(\operatorname{cm}\right)\)

BÀi 3:

a: Xét ΔCHA vuông tại H và ΔCAB vuông tại A có

\(\hat{HCA}\) chung

Do đó: ΔCHA~ΔCAB

=>\(\frac{CH}{CB}=\frac{AH}{AB}=\frac{CA}{CB}\)

=>\(\frac{AH}{AC}=\frac{BA}{BC}\)

=>\(\frac{BA}{BC}=\frac35\)

=>15/BC=3/5=15/25

=>BC=25(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AB^2=BH\cdot BC\)

=>BH=15^2/25=9(cm)

BH+HC=BC

=>HC=25-9=16(cm)

b: Xét tứ giác AEHF có \(\hat{AEH}=\hat{AFH}=\hat{FAE}=90^0\)

nên AEHF là hình chữ nhật

=>AH=EF

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(EF\cdot BC=AB\cdot AC\)

BÀi 2:

a: Xét ΔABC có \(AB^2+AC^2=BC^2\)

nên ΔABC vuông tại A

b: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot20=12\cdot16=192\)

=>AH=192/20=9,6(cm)
Bài 1:

a: Xét ΔABC có \(AB^2+AC^2=BC^2\)

nên ΔABC vuông tại A

b: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>AH*10=6*8=48

=>AH=4,8(cm)

Dựng AH vuông góc với BC, đặt AB = x, ta có : AH = x.sin B = x.sin60 = x.căn 3 / 2 
HB = x.cos 60 = x/2 => HC = BC - HB = 8 - x/2 = (16 - x)/2 
AC = 12 - AB = 12 - x 
Trong tam giác vuông AHC : AH^2 + HC^2 = AC^2 
hay (x. căn 3 /2)^2 + (16 - x)^2/4 = (12 - x)^2 
<=> 3x^2 + (16 - x)^2 = 4(12 - x)^2 
Giải phương trình này tìm được x = 5

Tam giác ABC vuông tại A, B=60.

⇒ Tam giác ABC là 1 nửa tam giác đều

⇒AB = \(\frac{BC}{2}\) =4cm.

 AC=12‐4=8cm

Vậy AB=4cm

       AC=8cm

A B C 2x 60* H

Kẻ: \(AH\perp BC\).Đặt \(AB=2x\Rightarrow BH=x\Rightarrow AH=x\sqrt{3};HC=8-x\)

Áp dụng định lí Pi-ta-go có:

\(AC=\sqrt{\left(x\sqrt{3}\right)^2+\left(8-x\right)^2}=\sqrt{4x^2-16x+64}\)

Do \(AB+AC=12\Rightarrow2x+\sqrt{4x^2-16x+64}=12\)

Giải phương trình có x = 2,5

\(\Rightarrow AB=2x=2.2,5=5cm\)

Thay số vào tính được AC =))

AB+AC=12

=>AC=12-AB

Xét ΔBAC có cos B=\(\frac{BA^2+BC^2-AC^2}{2\cdot BA\cdot BC}\)

=>\(BA^2+8^2-AC^2=2\cdot BA\cdot8\cdot cos60=8\cdot BA\)

=>\(BA^2+64-\left(12-AB\right)^2=8BA\)

=>\(AB^2+64-\left(AB^2-24AB+144\right)=8\cdot AB\)

=>64+24AB-144=8AB

=>24AB-80=8AB

=>16AB=80

=>AB=5(cm)

AB+AC=12

=>AC=12-AB

Xét ΔBAC có cos B=\(\frac{BA^2+BC^2-AC^2}{2\cdot BA\cdot BC}\)

=>\(BA^2+8^2-AC^2=2\cdot BA\cdot8\cdot cos60=8\cdot BA\)

=>\(BA^2+64-\left(12-AB\right)^2=8BA\)

=>\(AB^2+64-\left(AB^2-24AB+144\right)=8\cdot AB\)

=>64+24AB-144=8AB

=>24AB-80=8AB

=>16AB=80

=>AB=5(cm)

Tam giác ABC vuông tại A, B=60.

\(\Rightarrow\) Tam giác ABC là 1 nửa tam giác đều

\(\Rightarrow AB=\frac{BC}{2}\) =4; AC=12-4=8

Lời giải:

Kẻ $AH\perp BC$. $(H\in BC)$

Xét tam giác $ABH$ có:

$\frac{BH}{AB}=\cos 60^0=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow AB=2BH$

Áp dụng định lý Pitago:

$AH^2=AB^2-BH^2=(2BH)^2-BH^2=3BH^2(1)$

$AH^2=AC^2-CH^2=(12-AB)^2-(8-BH)^2$

$=(12-2BH)^2-(8-BH)^2=3BH^2-32BH+80(2)$

Từ $(1);(2)$ suy ra $3BH^2=3BH^2-32BH+80$

$\Rightarrow BH=2,5$ (cm)

$\Rightarrow AB=2BH=5$ (cm)

Hình vẽ: