Bài 4:

a: DB là phân giác của góc ADC

=>\(\hat{BDC}=\frac12\cdot\hat{ADC}=\frac12\cdot\hat{BCD}\)

ΔBCD vuông tại B

=>\(\hat{BDC}+\hat{BCD}=90^0\)

=>\(\frac12\cdot\hat{BCD}+\hat{BCD}=90^0\)

=>\(\frac32\cdot\hat{BCD}=90^0\)

=>\(\hat{BCD}=60^0\)

AB//CD
=>\(\hat{ABC}+\hat{BCD}=180^0\) (hai góc trong cùng phía)

=>\(\hat{ABC}=180^0-60^0=120^0\)

ABCD là hình thang cân

=>\(\hat{ABC}=\hat{BAD}\)

=>\(\hat{BAD}=120^0\)

ABCD là hình thang cân

=>\(\hat{ADC}=\hat{BCD}\)

=>\(\hat{ADC}=60^0\)

b:

DB là phân giác của góc ADC

=>\(\hat{ADB}=\hat{CDB}=\frac12\cdot\hat{ADC}=30^0\)

AB//CD

=>\(\hat{ABD}=\hat{BDC}\) (hai góc so le trong)

=>\(\hat{ABD}=30^0\)

Xét ΔABD có \(\hat{ABD}=\hat{ADB}\)

nên ΔABD cân tại A

=>AB=AD

mà AD=BC

nên AB=AD=BC

=>AB=AD=6cm

Xét ΔBCD vuông tại B có sin BDC=\(\frac{BC}{CD}\)

=>\(\frac{6}{CD}=\sin30=\frac12\)

=>CD=12(cm)

Chu vi hình thang ABCD là:

AB+BC+CD+AD

=6+6+12+6

=12+18

=30(cm)

Kẻ BH⊥CD tại H

Xét ΔBHC vuông tại H có sin C=\(\frac{BH}{BC}\)

=>\(\frac{BH}{6}=\sin60=\frac{\sqrt3}{2}\)

=>\(BH=3\sqrt3\) (cm)

Diện tích hình thang ABCD là:

\(S_{ABCD}=\frac12\cdot BH\cdot\left(AB+CD\right)\)

\(=\frac12\cdot3\sqrt3\left(6+12\right)=18\cdot\frac{3\sqrt3}{2}=9\cdot3\sqrt3=27\sqrt3\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

BÀi 2:

a: AB//CD
=>\(\hat{OAB}=\hat{ADC}\) (hai góc đồng vị) và \(\hat{OBA}=\hat{BCD}\) (hai góc đồng vị)

mà \(\hat{ADC}=\hat{BCD}\) (ABCD là hình thang cân)

nên \(\hat{OAB}=\hat{OBA}\)

=>ΔOAB cân tại O

b: Xét ΔABD và ΔBAC có

AB chung

BD=AC

AD=BC

Do đó: ΔABD=ΔBAC

c: Ta có: ΔABD=ΔBAC

=>\(\hat{ABD}=\hat{BAC}\)

=>\(\hat{EAB}=\hat{EBA}\)

=>EA=EB

Ta có: EA+EC=AC

EB+ED=BD

mà EA=EB và AC=BD

nên EC=ED

d: Ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(1)

Ta có: EA=EB

=>E nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1),(2) suy ra OE là đường trung trực của AB

Ta có: EC=ED

=>E nằm trên đường trung trực của CD(3)

Ta có: OA+AD=OD

OB+BC=OC

mà OA=OB và AD=BC

nên OD=OC

=>O nằm trên đường trung trực của DC(4)

Từ (3),(4) suy ra EO là đường trung trực của DC

a: Xét ΔBAD vuông tại A và ΔADC vuông tại D có

BA/AD=AD/DC

=>ΔBAD đồng dạng với ΔADC

b: ΔBAD đồng dạng với ΔADC

=>góc BDA=góc ACD

Xét ΔOAD và ΔDAC có

góc ODA=góc DCA

góc A chung

=>ΔOAD đồng dạng với ΔDAC

=>góc AOD=góc ADC=90 độ

=>AC vuông góc BD tại O

c: Xét ΔOAB và ΔOCD có

góc OAB=góc OCD

góc AOB=góc COD

=>ΔOAB đồng dạng với ΔOCD

=>S OAB/S OCD=(AB/CD)^2=(4/9)^2=16/81

a: Xét ΔADC và ΔBCD có

AD=BC

CD chung

AC=BD

Do đó: ΔADC=ΔBCD

=>\(\hat{ACD}=\hat{BDC}\)

=>\(\hat{ACD}=45^0\)

Xét ΔDOC có \(\hat{ODC}=\hat{OCD}\left(=45^0\right)\)

nên ΔOCD vuông cân tại O

b:

ΔOCD vuông tại O

=>OC⊥DO

=>AC⊥BD tại O

ABCD là hình thang cân

=>AC=BD

=>AC=6cm

Diện tích hình thang ABCD là:

\(S_{ABCD}=\frac12\cdot AC\cdot BD=\frac12\cdot6\cdot6=\frac12\cdot36=18\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

a: AB//CD
=>\(\widehat{DAB}+\widehat{ADC}=180^0\)

mà \(\widehat{DAB}-\widehat{ADC}=60^0\)

nên \(\widehat{ADC}=\dfrac{180^0-60^0}{2}=60^0\)

b: Xét ΔOAB và ΔOCD có

\(\widehat{OAB}=\widehat{OCD}\)

\(\widehat{AOB}=\widehat{COD}\)

Do đó: ΔOAB đồng dạng với ΔOCD

=>\(\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OB}{OD}\)

=>OC=OD

OA+OC=AC

OB+OD=BD

mà OA=OB và OC=OD

nên AC=BD

=>ABCD chỉ là hình thang cân thôi chứ không là hình bình hành nha bạn