a: Xét ΔAHI có HM là phân giác

nên \(\frac{MI}{MA}=\frac{HI}{HA}=\frac{5}{12}\)

=>\(\frac{IM}{IA}=\frac{5}{5+12}=\frac{5}{17}\)

b: Ta có: \(\frac{IM}{IA}=\frac{5}{17}\)

=>\(\frac{IM}{13}=\frac{5}{17}\)

=>\(IM=13\cdot\frac{5}{17}=\frac{65}{17}\) (cm)

Ta có: AM+MI=AI

=>\(AM=13-\frac{65}{17}=\frac{156}{17}\) (cm)

c: Xét ΔAHI có \(HI^2+HA^2=AI^2\)

nên ΔHAI vuông tại H

Xét ΔABH vuông tại B và ΔAHI vuông tại H có

\(\hat{BAH}\) chung

Do đó: ΔABH~ΔAHI

=>\(\frac{BH}{HI}=\frac{AH}{AI}\)

=>\(BH=\frac{HA\cdot HI}{AI}=\frac{5\cdot12}{13}=\frac{60}{13}\left(\operatorname{cm}\right)\)

a: Xét ΔAHI có HM là phân giác

nên \(\frac{MI}{MA}=\frac{HI}{HA}=\frac{5}{12}\)

=>\(\frac{IM}{IA}=\frac{5}{5+12}=\frac{5}{17}\)

b: Ta có: \(\frac{IM}{IA}=\frac{5}{17}\)

=>\(\frac{IM}{13}=\frac{5}{17}\)

=>\(IM=13\cdot\frac{5}{17}=\frac{65}{17}\) (cm)

Ta có: AM+MI=AI

=>\(AM=13-\frac{65}{17}=\frac{156}{17}\) (cm)

c: Xét ΔAHI có \(HI^2+HA^2=AI^2\)

nên ΔHAI vuông tại H

Xét ΔABH vuông tại B và ΔAHI vuông tại H có

\(\hat{BAH}\) chung

Do đó: ΔABH~ΔAHI

=>\(\frac{BH}{HI}=\frac{AH}{AI}\)

=>\(BH=\frac{HA\cdot HI}{AI}=\frac{5\cdot12}{13}=\frac{60}{13}\left(\operatorname{cm}\right)\)

Lỗi ảnh r 

???????????????????????????????????????

\(\dfrac{5}{7}=\dfrac{30}{42};\dfrac{6}{7}=\dfrac{36}{42}. Vay5phansocantimla:\dfrac{31}{42};\dfrac{32}{42};\dfrac{33}{42};\dfrac{34}{42};\dfrac{35}{42}\)

Qui đồng 2 phân số lên ta có: 

5/7 = 30/42 và 6/7 = 36/42 

Vậy phân số nằm giữa là: 31/42 ; 32/42; 33/42; 34/42; 35/42

Bài 3:

a: Ta có: \(\hat{DAM}+\hat{DAB}+\hat{BAH}=180^0\)

=>\(\hat{DAM}+\hat{BAH}=180^0-90^0=90^0\)

mà \(\hat{BAH}+\hat{ABH}=90^0\) (ΔAHB vuông tại H)

nên \(\hat{DAM}=\hat{ABH}\)

Ta có: \(\hat{NAE}+\hat{EAC}+\hat{CAH}=180^0\)

=>\(\hat{NAE}+\hat{CAH}=180^0-90^0=90^0\)

mà \(\hat{CAH}+\hat{ACH}=90^0\) (ΔAHC vuông tại H)

nên \(\hat{NAE}=\hat{HCA}\)

Xét ΔDAM vuông tại M và ΔABH vuông tại H có

DA=AB

\(\hat{DAM}=\hat{ABH}\)

Do đó: ΔDAM=ΔABH

=>DM=AH

b: Xét ΔNAE vuông tại N và ΔHCA vuông tại H có

AE=CA

\(\hat{NAE}=\hat{HCA}\)

Do dó: ΔNAE=ΔHCA

=>NE=HA

mà DM=AH

nên NE=DM

Gọi O là giao điểm của MN và DE

Xét ΔOMD vuông tại M và ΔONE vuông tại N có

MD=NE

\(\hat{MDO}=\hat{NEO}\) (hai góc so le trong, DM//EN)

Do đó: ΔOMD=ΔONE

=>OD=OE

=>O là trung điểm của DE

=>MN đi qua trung điểm của DE
c: Ta có: \(\hat{DAC}=\hat{DAB}+\hat{BAC}=90^0+\hat{BAC}\)

\(\hat{BAE}=\hat{BAC}+\hat{CAE}=90^0+\hat{BAC}\)

Do đó: \(\hat{DAC}=\hat{BAE}\)

Xét ΔDAC và ΔBAE có

DA=BA

\(\hat{DAC}=\hat{BAE}\)

AC=AE

Do đó: ΔDAC=ΔBAE

=>DC=BE

Gọi I là giao điểm của DC và BE

ΔDAC=ΔBAE
=>\(\hat{ADC}=\hat{ABE}\)

Xét tứ giác ADBI có \(\hat{ADI}=\hat{ABI}\)

nên ADBI là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{DIB}=\hat{DAB}=90^0\)

=>DC⊥BE tại I

\(A=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+...+\dfrac{1}{2^9}\)

\(\Rightarrow2A=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{2^8}\)

\(\Rightarrow2A-A=1-\dfrac{1}{2^9}\)

\(\Rightarrow A=1-\dfrac{1}{2^9}=\dfrac{511}{512}\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)_{min}=511+512=1023\)

B A C H

\(\frac{AB}{AC}=\frac{5}{6}\)\(\Rightarrow\)\(\frac{AB}{5}=\frac{AC}{6}=x\)  \(\left(x>0\right)\)

\(\Rightarrow\)\(AB=5x;\)\(AC=6x\)

Áp dụng hệ thức lượng ta có:

\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{9}=\frac{1}{25x^2}+\frac{1}{36x^2}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{61}{900x^2}=\frac{1}{9}\)

\(\Rightarrow\)\(900x^2=549\)

\(\Rightarrow\)\(x=\sqrt{\frac{549}{900}}=\frac{\sqrt{61}}{10}\)

\(\Rightarrow\)\(AB=\frac{\sqrt{61}}{2}\);     \(AC=\frac{3\sqrt{61}}{5}\)

Áp dụng Pytago ta có:

    \(AB^2+AC^2=BC^2\)

\(\Leftrightarrow\)   \(BC=61x^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(BC=x\sqrt{61}\)

\(\Leftrightarrow\)\(BC=\frac{\sqrt{61}}{10}.\sqrt{61}=6,1\)

p/s: bạn tham khảo nhé, do số không đẹp nên có lẽ mk tính toán sai 1 số chỗ, bạn bỏ qua và ktra nhé, sai đâu ib mk

B A C H

\(\frac{AB}{AC}=\frac{5}{6}\)\(\Rightarrow\)\(\frac{AB}{5}=\frac{AC}{6}=x\)  \(\left(x>0\right)\)

\(\Rightarrow\)\(AB=5x;\)\(AC=6x\)

Áp dụng định lý Pytago ta có:

      \(AB^2+AC^2=BC^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(BC^2=61x^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(BC=x\sqrt{61}\)

Áp dụng hệ thức lượng ta có:

   \(AB.AC=AH.BC\)

\(\Leftrightarrow\)\(30x^2=3x\sqrt{61}\)

\(\Leftrightarrow\)\(x=\frac{\sqrt{61}}{10}\)

Đến đây bạn  thay x vào các biểu thức tính AB,AC,BC ở trên nhé

a: Ta có: \(\sin^2a+cos^2a=1\)

=>\(cos^2a=1-0,6^2=0,64=0,8^2\)

=>cosa=0,8

\(\tan a=\frac{\sin a}{cosa}=\frac{0.6}{0.8}=\frac34\)

\(\cot a=\frac{1}{\tan a}=1:\frac34=\frac43\)

\(\sin\left(90^0-a\right)=cosa=0,8\)

\(cos\left(90^0-a\right)=\sin a=0,6\)

b: \(\sin^2a+cos^2a=1\)

=>\(sin^2a=1-\left(\frac{1}{\sqrt5}\right)^2=1-\frac15=\frac45\)

=>\(\sin a=\frac{2}{\sqrt5}\)

tan a=\(\frac{\sin a}{cosa}=\frac{2}{\sqrt5}:\frac{1}{\sqrt5}=2\)

cot a=1/tana=1/2

\(\tan\left(90^0-a\right)=\cot a=\frac12\)

\(\cot\left(90^0-a\right)=\tan a=2\)