\(VT=\dfrac{1}{5}\left(\dfrac{5}{1\cdot6}+\dfrac{5}{6\cdot11}+...+\dfrac{5}{\left(5n+1\right)\left(5n+6\right)}\right)\)

\(=\dfrac{1}{5}\left(1-\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{11}+\dfrac{1}{11}-...+\dfrac{1}{5n+1}-\dfrac{1}{5n+6}\right)\)

\(=\dfrac{1}{5}\left(1-\dfrac{1}{5n+6}\right)\)

\(=\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{5n+6-1}{5n+6}\)

\(=\dfrac{n+1}{5n+6}=VP\)

$A=n\left[n^2{\left(n^2-7\right)}^2-36\right]=n\left[{\left(n^3-7n\right)}^2-36\right]$

$=n\left(n^3-7n-6\right)\left(n^3-7n+6\right)$

$=n\left(n-3\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n-2\right)\left(n-1\right)\left(n+3\right)$

$\Rightarrow A$ là tích 7 số nguyên liên tiếp nên A luôn chia hết cho 7

dê

câu b là n^2 + n + 6 không chia hết cho 4

Chắc vậy

a: TH1: n=1

\(VT=n^2=1;VP=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}=\frac{1\cdot\left(1+1\right)\left(2\cdot1+1\right)}{6}=1\)

=>VT=VP

=>Mệnh đề đúng

Giả sử mệnh đề đúng với n=k

Ta cần chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1

\(1^2+2^2+\ldots+n^2+\left(n+1\right)^2\)

\(=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}+\left(n+1\right)^2\)

\(=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)+6\left(n+1\right)^2}{6}\)

\(=\frac{\left(n+1\right)\left\lbrack n\left(2n+1\right)+6\left(n+1\right)\right\rbrack}{6}=\frac{\left(n+1\right)\left(2n^2+7n+6\right)}{6}\)

\(=\frac{\left(n+1\right)\left(2n^2+3n+4n+6\right)}{6}=\frac{\left(n+1\right)\left(2n+3\right)\left(n+2\right)}{6}\)

\(=\frac{\left(n+1\right)\left(n+1+1\right)\left\lbrack2\cdot\left(n+1\right)+1\right\rbrack}{6}\)

=>Mệnh đề cũng đúng với n=k+1

=>Mệnh đề đúng với mọi n

b: TH1: n=1

\(VT=1\left(1+1\right)=1\cdot2=2;VP=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}=\frac{1\left(1+1\right)\left(1+2\right)}{3}=\frac{1\cdot2\cdot3}{3}=2\)

=>VT=VP

=>Mệnh đề đúng

Giả sử mệnh đề đúng với n=k

Ta cần chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1

\(1\cdot2+2\cdot3+\cdots+n\left(n+1\right)+\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

\(=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}+\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

\(=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+3\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}=\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{3}\)

=>Mệnh đề đúng với n=k+1

=>Mệnh đề đúng với mọi n

\(\Rightarrow A=2^{2n}-1=4^n-1=\left(4-1\right)\left(4^{n-1}+4^{n-2}+...+4+1\right)=3\cdot\left(4^{n-1}+4^{n-2}+...+4+1\right)⋮3\forall n\in N\)

Llklkksd

a: f(n+1)>f(n)

=>f(n+1)>=f(n)+1

Áp dụng quy nạp toán học cho bất đẳng thức trên, với mọi k và m là các số nguyên dương sao cho k>m, ta có:

\(f(k) \ge f(m) + k - m\)

Lấy k=f(n) và m=n, ta sẽ có:

Khi f(n)>n thì \(f(f(n)) \ge f(n) + f(n) - n = 2f(n) - n\)

=>\(n+2000\ge2f(n)-n\)

=>\(2f(n)\le2n+2000\implies f(n)\le n+1000\)

Giả sử tồn tại \(n_0\in Z^{+}\) sao cho \(f(n_0 + 1) \ge f(n_0) + 2\)

Vì hàm số f(n) tăng nên với mọi k>=1 ta sẽ có:

\(f(n_0 + k) \ge f(n_0 + 1) + k - 1 \ge f(n_0) + k + 1\)

Chọn k sao cho \(n_0+k=f\left(n_0\right)\)

=>\(k=f\left(n_0\right)-n_0\)

Khi đó, ta có:

\(f(f(n_0)) \ge f(n_0) + (f(n_0) - n_0) + 1 = 2f(n_0) - n_0 + 1\)

=>\(n_0+2000\ge2f(n_0)-n_0+1\)

=>\(2f(n_0)\le2n_0+1999\)

=>\(f(n_0)\le n_0+999.5\)

Thực hiện đánh giá tương tự cho n bước nhảy lớn hơn 1, ta sẽ thấy mâu thuẫn khi xét chu kỳ của f(f(n))=n+2000

Từ f(n+1)>=f(n)+1, bằng cách quy nạp cho 2000 bước thì ta sẽ có:

\(f(n + 2000) \ge f(n) + 2000\)

=>\(f(f(f(n))) \ge f(n) + 2000\)

mà theo điều kiện \(f(f(n))=n+2000,\forall n\in Z^{+}\) thì ta sẽ có:

\(f(f(f(n))) = f(n) + 2000\)

Dấu '=' xảy ra khi f(x+1)=f(x)+1∀x∈\(Z^{+}\)

P = \(\left(m+1\right)\left(m+3\right)\left(m+5\right)\left(m+7\right)+15\)

P = \(\left(m^2+8m+7\right)\left(m^2+8m+15\right)+15\) (*)

Đặt \(m^2+8m+7=a\)

(*) \(\Leftrightarrow a.\left(a+8\right)+15\)

= \(a^2+8a+15\)

= \(\left(a+3\right)\left(a+5\right)\)

= \(\left(m^2+8m+7+3\right)\left(m^2+8m+7+5\right)\)

= \(\left(m^2+8m+10\right)\left(m^2+8m+12\right)\)

= \(\left(m^2+8m+10\right)\left(m+2\right)\left(m+6\right)⋮\left(m+6\right)\) ( đpcm )

Cm: \(\forall\)\(x\in\) N ta có: (n + 45).(4n² -1) ⋮ 3

Trong biểu thức không hề chứa \(x\) em nhá

Biểu thức chứa \(x\) là biểu thức nào thế em?

Bài này em nghĩ là phải sửa thành với mọi \(n\inℕ\) ạ.

Đặt \(P=\left(n+45\right)\left(4n^2-1\right)\)

Với \(n⋮3\) thì hiển nhiên \(n+45⋮3\), suy ra \(P⋮3\) 

Với \(n⋮̸3\) thì \(n^2\equiv1\left[3\right]\) nên \(4n^2\equiv1\left[3\right]\) hay \(4n^2-1⋮3\), suy ra \(P⋮3\)

Vậy, với mọi \(n\inℕ\) thì \(\left(n+45\right)\left(4n^2-1\right)⋮3\) (đpcm)