Lời giải:

Theo tính chất tia phân giác: 

$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}=\frac{75}{100}=\frac{3}{4}(1)$

$BC=BD+CD=75+100=175$

Theo định lý Pitago:

$AB^2+AC^2=BC^2=175^2(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow AB=105; AC=140$ (cm) 

$BH=\frac{AB^2}{BC}=\frac{105^2}{175}=63$ (cm) - theo hệ thức lượng trong tam giác vuông

$CH=BC-BH=175-63=112$ (cm)

$AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{105^2-63^2}=84$ (cm)

$HD=BD-BH=75-63=12$ (cm) 

$AD=\sqrt{AH^2+DH^2}=\sqrt{84^2+12^2}=60\sqrt{2}$ (cm)

Hình vẽ:

BC=15+20=35cm

BD/CD=3/4

=>AB/AC=3/4

BH/CH=(AB/AC)^2=9/16

=>BH/9=CH/16=35/25=1,4

=>BH=12,6cm; CH=22,4cm

A B C H D 51 68

\(\Delta ABC\)vuông đường cao AH: 

\(\hept{\begin{cases}AB^2=BH.BC\\AC^2=CH.BC\end{cases}\Rightarrow\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{BH.BC}{CH.BC}=\frac{BH}{CH}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{BH}{CH}=\frac{AB^2}{AC^2}=\left(\frac{AB}{AC}\right)^2\)

Vì AD là đường phân giác \(\Delta ABC\)(gt);

\(\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{51}{68}=\frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow\left(\frac{AB}{AC}\right)^2=\left(\frac{3}{4}\right)^2=\frac{9}{16}\)

\(\Rightarrow\frac{BH}{CH}=\frac{9}{14}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau: 

\(\frac{BH}{9}=\frac{CH}{16}=\frac{BH+CH}{9+16}=\frac{BC}{25}=\frac{BD+CD}{25}=\frac{119}{25}\)

\(\Rightarrow BH=\frac{9.119}{25}=42,84cm\)

\(\Rightarrow CH=\frac{16.119}{25}=76,16cm\)

BH/CH = 9/16 chứ sao lại là 9/14

Xét ΔABC có

AD là đường phân giác ứng với cạnh BC

nên \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{CD}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{3}{4}\)

hay \(AB=\dfrac{3}{4}AC\)

Ta có: BD+CD=BC

nên BC=17,5cm

Áp dụng định lí Pytago vào ΔBAC vuông tại A, ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow AC^2\cdot\dfrac{25}{16}=\dfrac{1225}{4}\)

\(\Leftrightarrow AC^2=196\)

hay AC=14cm

\(\Leftrightarrow AB=\dfrac{3}{4}AC=10.5\left(cm\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔBAC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}AH\cdot BC=AB\cdot AC\\AB^2=BH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AH=8.4\left(cm\right)\\BH=6.3\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

a: Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(AH^2=HB\cdot HC\)

\(\Leftrightarrow HC=\dfrac{4.8^2}{3.6}=6.4\left(cm\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB^2=36\\AC^2=64\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=6\left(cm\right)\\AC=8\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

BC=BD+CD=7,5+10=17,5(cm)

Xét ΔABC có AD là phân giác

nên \(\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}=\frac{7.5}{10}=\frac34\)

=>\(\frac{AB}{3}=\frac{AC}{4}\)

Đặt \(\frac{AB}{3}=\frac{AC}{4}=k\)

=>AB=3k; AC=4k

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(\left(3k\right)^2+\left(4k\right)^2=17,5^2\)

=>\(25k^2=17,5^2\)

=>\(k^2=12,25=3,5^2\)

=>k=3,5

=>\(AB=3\cdot3,5=10,5\left(\operatorname{cm}\right);AC=4\cdot3,5=14\left(\operatorname{cm}\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot17,5=10,5\cdot14=147\)

=>AH=147/17,5=8,4(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BH\cdot BC=BA^2\)

=>BH=10,5^2/17,5=6,3(cm)

BH<BD

=>H nằm giữa B và D

=>BH+HD=BD

=>HD=7,5-6,3=1,2(cm)