\(x^2 + y^2 + xy = 3\)

=>\(x^2+y^2+2xy-xy=3\)

=>\(\left(x+y\right)^2=xy+3\)

Đặt v=xy

=>\(\left(x+y\right)^2=v+3\)

\(S = x^4 + xy + y^4\)

\(=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2+xy=\left(3-v\right)^2-2v^2+v\)

\(=v^2-6v+9-2v^2+v=-v^2-5v+9\)

Điều kiện để tồn tại hai số thực x,y thỏa mãn u=x+y và v=xy là \(u^2\ge4v\)

=>3+v>=4v

=>3>=3v

=>v<=1

\(u^2=3+v\ge0\)

=>v>=-3

=>-3<=v<=1

Xét hàm số \(f(v) = -v^2 - 5v + 9\) trên tập [-3;1]

f'(v)=-2v-5

Đặt f'(v)=0

=>-2v-5=0

=>2v+5=0

=>v=-5/2∈[-3;1]

\(f(-2.5) = -(-2.5)^2 - 5(-2.5) + 9 = -6.25 + 12.5 + 9 = 15.25 = \frac{61}{4}\)

\(f(-3) = -(-3)^2 - 5(-3) + 9 = -9 + 15 + 9 = 15\)

\(f(1) = -(1)^2 - 5(1) + 9 = -1 - 5 + 9 = 3\)

Do đó: f(v) max=61/4 khi v=-2,5; f(v) min=3 khi v=1

=>S max=61/4; S min=3

Tìm min :

Ta có : \(x^2+y^2-xy=4\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2=4+xy\le4+\frac{x^2+y^2}{2}\) ( vì \(\left(x-y\right)^2\ge0\) )
\(\Leftrightarrow\frac{A}{2}\le4\)

\(\Leftrightarrow A\le8\)

Tìm max

\(x^2+y^2-xy=4\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2=4+xy\)

\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2\right)=8+\left(x+y\right)^2\ge8\)

\(\Leftrightarrow A\ge\frac{8}{3}\)

Bên học24 mình đã xài \(\Delta\) vậy bên này mình sẽ xài HĐT kiểu Cosi như ý bn :))

Áp dụng BĐT \(xy\le\frac{x^2+y^2}{2}\) ta có:

\(x^2+y^2=4+xy\le4+\frac{x^2+y^2}{2}\)

\(\Rightarrow A\le4+\frac{A}{2}\Rightarrow A\le8\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\pm2\)

*)Nếu \(xy\ge0\Rightarrow A\ge4\)

*)Nếu \(xy< 0\). WLOG \(x>0;y< 0\). \(y\rightarrow-z\left(z>0\right)\)

Have \(\frac{A}{4}=\frac{x^2+y^2}{4}=\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2-xy}\)

\(=1+\frac{xy}{x^2+y^2+xy}=1-\frac{zx}{x^2+z^2+xz}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có: 

\(\hept{\begin{cases}x^2+z^2\ge2xz\\x^2+z^2+xz\ge3xz\end{cases}}\)\(\Rightarrow\frac{xz}{x^2+z^2+zx}\le\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow\frac{A}{4}=1-\frac{zx}{x^2+z^2+xz}\ge1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\Rightarrow A\ge\frac{8}{3}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=\frac{2}{\sqrt{3}}\\y=-\frac{2}{\sqrt{3}}\end{cases}}\) hoặc \(\hept{\begin{cases}x=-\frac{2}{\sqrt{3}}\\y=\frac{2}{\sqrt{3}}\end{cases}}\)