Xét các vec tơ đơn vị \(\frac{\overrightarrow{AB}}{AB};\frac{\overrightarrow{BC}}{BC};\frac{\overrightarrow{CA}}{CA}\) trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC

Có \(0\le\left(\frac{\overrightarrow{AB}}{AB};\frac{\overrightarrow{BC}}{BC};\frac{\overrightarrow{CA}}{CA}\right)^2=3-2\left(\cos A+\cos B+\cos C\right)\)

Suy ra \(\cos A+\cos B+\cos C\le\frac{3}{2}\) => Điều cần chứng minh

a: Xét ΔALC vuông tại L và ΔAKB vuông tại K có

\(\hat{LAC}\) chung

Do đó: ΔALC~ΔAKB

=>\(\frac{AL}{AK}=\frac{AC}{AB}\)

=>\(\frac{AL}{AC}=\frac{AK}{AB}\)

Xét ΔAKB vuông tại K có cos BAC=\(\frac{AK}{AB}\)

Xét ΔBLC vuông tại L và ΔBHA vuông tại H có

\(\hat{LBC}\) chung

Do đó: ΔBLC~ΔBHA

=>\(\frac{BL}{BH}=\frac{BC}{BA}\)

=>\(\frac{BL}{BC}=\frac{BH}{BA}\)

Xét ΔBLC vuông tại L có cos LBC=\(\frac{BL}{BC}\)

Xét ΔCKB vuông tại K và ΔCHA vuông tại H có

\(\hat{KCB}\) chung

Do đó: ΔCKB~ΔCHA

=>\(\frac{CK}{CH}=\frac{CB}{CA}\)

=>\(\frac{CK}{CB}=\frac{CH}{CA}\)

Xét ΔAHC vuông tại H có cos ACH=\(\frac{CH}{CA}\)

Xét ΔALK và ΔACB có

\(\frac{AL}{AC}=\frac{AK}{AB}\)

góc CAB chung

Do đó: ΔALK~ΔACB

=>\(\frac{S_{ALK}}{S_{ACB}}=\left(\frac{AL}{AC}\right)^2=\frac{AL}{AC}\cdot\frac{AK}{AB}=cos^2BAC\)

b: Xét ΔBLH và ΔBCA có

\(\frac{BL}{BC}=\frac{BH}{BA}\)

góc LBH chung

Do đó: ΔBLH~ΔBCA

=>\(\frac{S_{BLH}}{S_{BCA}}=\left(\frac{BL}{BC}\right)^2=cos^2ABC\)

Xét ΔCKH và ΔCBA có

\(\frac{CK}{CB}=\frac{CH}{CA}\)

góc KCH chung

Do đó: ΔCKH~ΔCBA

=>\(\frac{S_{CKH}}{S_{CBA}}=\left(\frac{CK}{CB}\right)^2=cos^2C\)

\(S_{ALK}+S_{BLH}+S_{CKH}+S_{LKH}=S_{ABC}\)

=>\(\frac{S_{ALK}}{S_{ABC}}+\frac{S_{BLH}}{S_{BAC}}+\frac{S_{CKH}}{S_{BAC}}+\frac{S_{LHK}}{S_{ABC}}=1\)

=>\(\frac{S_{LHK}}{S_{BAC}}=1-cos^2BAC-cos^2ABC-cos^2ACB\)