\(AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}\)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên đáy

Do \(SA=SB=SC\Rightarrow HA=HB=HC\Rightarrow H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC

Mà ABC vuông tại A \(\Rightarrow H\) là trung điểm BC

\(\Rightarrow BH=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{a}{2}\)

\(\Rightarrow SH=\sqrt{SB^2-BH^2}=\dfrac{a\sqrt{15}}{2}\)

\(V=\dfrac{1}{3}SH.\dfrac{1}{2}AB.AC=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{15}}{2}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{a\sqrt{3}}{4}=\dfrac{a^3\sqrt{5}}{32}\)

a)

Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ nên: $S_{ABC} = \dfrac{\sqrt3}{4}a^2$.

Do $SA \perp (ABC)$ nên $SA$ là chiều cao của khối chóp.

Góc giữa $SB$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $30^\circ$ nên:

$\tan 30^\circ = \dfrac{SA}{AB}$

$\dfrac{1}{\sqrt3} = \dfrac{SA}{a} \Rightarrow SA = \dfrac{a}{\sqrt3}$.

Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SA$

$= \dfrac13 \cdot \dfrac{\sqrt3}{4}a^2 \cdot \dfrac{a}{\sqrt3}$

$= \dfrac{a^3}{12}$.

b)

Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ nên:

$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB \cdot AC$.

Do $SA \perp (ABC)$ và $SA = 5a$.

Góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $60^\circ$ nên:

$\tan 60^\circ = \dfrac{SA}{AC}$

$\sqrt3 = \dfrac{5a}{AC} \Rightarrow AC = \dfrac{5a}{\sqrt3}$.

Suy ra: $S_{ABC} = \dfrac{1}{2}\cdot a \cdot \dfrac{5a}{\sqrt3} = \dfrac{5a^2}{2\sqrt3}$.

Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SA$

$= \dfrac13 \cdot \dfrac{5a^2}{2\sqrt3} \cdot 5a$

$= \dfrac{25a^3}{6\sqrt3}

= \dfrac{25\sqrt3 a^3}{18}$.

a)

Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ nên: $S_{ABC} = \dfrac{\sqrt3}{4}a^2$.

Do $SA \perp (ABC)$ nên $SA$ là chiều cao của khối chóp.

Góc giữa $SB$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $30^\circ$ nên:

$\tan 30^\circ = \dfrac{SA}{AB}$

$\dfrac{1}{\sqrt3} = \dfrac{SA}{a} \Rightarrow SA = \dfrac{a}{\sqrt3}$.

Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SA$

$= \dfrac13 \cdot \dfrac{\sqrt3}{4}a^2 \cdot \dfrac{a}{\sqrt3}$

$= \dfrac{a^3}{12}$.

b)

Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ nên:

$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB \cdot AC$.

Do $SA \perp (ABC)$ và $SA = 5a$.

Góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $60^\circ$ nên:

$\tan 60^\circ = \dfrac{SA}{AC}$

$\sqrt3 = \dfrac{5a}{AC} \Rightarrow AC = \dfrac{5a}{\sqrt3}$.

Suy ra: $S_{ABC} = \dfrac{1}{2}\cdot a \cdot \dfrac{5a}{\sqrt3} = \dfrac{5a^2}{2\sqrt3}$.

Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SA$

$= \dfrac13 \cdot \dfrac{5a^2}{2\sqrt3} \cdot 5a$

$= \dfrac{25a^3}{6\sqrt3}

= \dfrac{25\sqrt3 a^3}{18}$.

Đáp án A

Gọi H là trung điểm AB. Ta có 2 tam giác SAB và ABC đều và bằng nhau nên SH = CH= a 3    . Mà S Δ A B C = a 2 3 ⇒ V S . A B C = 1 3 a 2 3 . a 3 = a 3

Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $2a$ nên:

$S_{ABC} = \dfrac{\sqrt3}{4}(2a)^2 = \sqrt3 a^2$.

Tam giác $SAB$ đều cạnh $2a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với $(ABC)$ nên:

$SA = SB = AB = 2a$ và $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với $(ABC)$ tại trung điểm $M$ của $AB$.

Trong tam giác đều $SAB$:

$SM = \dfrac{\sqrt3}{2}\cdot 2a = a\sqrt3$.

Vì $(SAB) \perp (ABC)$ nên $SM \perp (ABC)$, do đó $SM$ là chiều cao của khối chóp.

Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SM = \dfrac13 \cdot \sqrt3 a^2 \cdot a\sqrt3 = \dfrac13 \cdot 3a^3 = a^3$.

Vậy $V = a^3$.

Chọn đáp án A.

Đáp án là A

Ta có : 

( Do SAB là tam giác vuông cân tại S cạnh huyền AB=2a)

Diện tích tam giác ABC là 

Vậy thể tích khối chóp SABC là: 

Đáp án B

Kẻ đường cao SH trong Δ S A B ⇒ A H ⊥ A B C .

Δ S A B đều  ⇒ A H = 2. a 3 2 = a 3

Diện tích tam giác:  A B C = 1 2 . 2 a 2 = 2 a 2

⇒ V S . A B C = 1 3 S H . d t A B C = 1 3 a 3 .2 a 2 = 2 a 3 3 3

Ta có:  V S . A M N V S . A B C = S M S B . S N S C = 1 2 . 1 3 = 1 6

⇒ V S . A M N = V S . A B C 6 = 2 a 3 3 3.6 = a 3 3 9

Phương pháp:

Tính thể tích  V S . A B C

Tính thể tích  V S . A M N  theo công thức tỉ lệ thể tích

Tính thể tích  V A . B C M N  và suy ra kết luận

Cách giải:

Xét tam giác SAB và SAC là các tam giác vuông tại A có hai cạnh góc vuông là a và 2a nên

Tam giác SAB vuông tại có đường cao AM

Khi đó  

Tương tự 

Lại có 

Mặt khác 

Do đó

Chọn C.

Diện tích đáy: $S_{ABC}=\dfrac{\sqrt3}{4}a^2$

Thể tích khối chóp lớn:

$V_{S.ABC} =\dfrac13 S_{ABC}\cdot SA$ $=\dfrac13\cdot\dfrac{\sqrt3}{4}a^2\cdot2a =\dfrac{\sqrt3}{6}a^3$

Tính cạnh: $SB=SC=\sqrt{SA^2+AB^2} =\sqrt{4a^2+a^2} =a\sqrt5$

Vì $M,N$ là hình chiếu: $\dfrac{SM}{SB}=\dfrac{SN}{SC} =\dfrac{SA^2}{SB\cdot SC} =\dfrac{4a^2}{5a^2} =\dfrac45$

=> $\dfrac{V_{S.AMN}}{V_{S.ABC}} =\left(\dfrac45\right)^2 =\dfrac{16}{25}$

⇒ $V_{S.AMN} =\dfrac{16}{25}\cdot\dfrac{\sqrt3}{6}a^3 =\dfrac{8\sqrt3}{75}a^3$

Thể tích cần tìm: $V_{A.BCMN} =V_{S.ABC}-V_{S.AMN}$ $=\dfrac{\sqrt3}{6}a^3-\dfrac{8\sqrt3}{75}a^3 =\dfrac{3\sqrt3}{50}a^3$

Tính: $\dfrac{50V}{\sqrt3 a^3} =\dfrac{50\cdot \frac{3\sqrt3}{50}a^3}{\sqrt3 a^3} =3$