Đề \(A=2017+\sqrt{2016-x}\)

Giải

a) A có nghĩa khi \(\sqrt{2016-x}\ge0\Leftrightarrow2016-x\ge0\Leftrightarrow x\le2016\)

b)Ta thấy: \(\sqrt{2016-x}\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow2017+\sqrt{2016-x}\ge2017\forall x\)

\(\Rightarrow A\ge2017\forall x\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\sqrt{2016-x}=0\Leftrightarrow2016-x=0\Leftrightarrow x=2016\)

Vậy với \(x=2016\) thì \(A_{Min}=2017\)

A = \(\frac{15-x}{x-4}\) (đk \(x\) ≠ 4)

A ∈ Z khi và chỉ khi:

(15 - \(x\)) ⋮ (\(x\) - 4)

[-(\(x-4\)) + 11] ⋮ (\(x\) - 4)

11 ⋮ (\(x\) - 4)

(\(x\) - 4) ∈ Ư(11) = {-11; - 1; 1; 11}

\(x\) ∈ {-7; 3; 5; 15}

Vậy \(x\) ∈ {-7; 3; 5; 15}

A = \(\frac{15-x}{x-4}\) (đk \(x\) ≠ 4)

A = - 1 + \(\frac{11}{x-4}\)

Với \(x\) ≠ 4 và \(x\in\) Z Ta có các trường hợp:

+ TH1: Nếu \(x\) = 5 thì A = - 1 + \(\frac{11}{5-4}\) = -1 + \(\frac{11}{1}\) = - 1 + 11 = 10

+ TH2: Nếu \(x\) ≤ 3

thì \(x\) - 4 ≤ 3 - 4

\(x\) - 4 ≤ - 1 < 0

11 > 0

Suy ra: \(\frac{11}{x-4}\) < 0

- 1 + \(\frac{11}{x-4}\) < - 1 < 10

Nếu \(x\) ≥ 6

\(x\) - 4 ≥ 6 - 4

\(x\) - 4 ≥ 2

\(\frac{11}{x-4}\) ≤ \(\frac{11}{2}\)

- 1 + \(\frac{11}{x-1}\) ≤ - 1 + \(\frac{11}{2}\) = \(\frac92\) < 10

Từ các lập luận và phân tích trên ta có giá trị lớn nhất của A là 10 khi \(x\) = 5

Áp dụng BĐT trị tuyệt đối:

\(A=\left|x+3\right|+\left|5-x\right|+\left|x-2\right|\ge\left|x+3+5-x\right|+\left|x-2\right|\)

\(\Rightarrow A\ge8+\left|x-2\right|\)

Mà \(\left|x-2\right|\ge0;\forall x\)

\(\Rightarrow A\ge8\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+3\right)\left(5-x\right)\ge0\\\left|x-2\right|=0\\\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x=2\)

Cách 1:

ĐKXĐ:\(x>0\)

Ta có:

\(A-2\sqrt{3}=\dfrac{x+3}{\sqrt{x}}-2\sqrt{3}\)

\(=\dfrac{x+3-2\sqrt{3}.\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\)

\(=\dfrac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{3}\right)^2}{\sqrt{x}}\)

Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(\sqrt{x}-\sqrt{3}\right)^2\ge0\\\sqrt{x}>0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\dfrac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{3}\right)^2}{\sqrt{x}}\ge0\)

\(\Leftrightarrow A-2\sqrt{3}\ge0\)\(\Leftrightarrow A\ge2\sqrt{3}\)

Vậy \(A_{min}=2\sqrt{3}\), đạt được khi và chỉ khi \(\sqrt{x}-\sqrt{3}=0\Leftrightarrow x=3\left(tm\right)\)

Cách 2:

ĐKXĐ: \(x>0\)

Ta có:

\(A=\dfrac{x+3}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}+\dfrac{3}{\sqrt{x}}\)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

\(\sqrt{x}+\dfrac{3}{\sqrt{x}}\ge2\sqrt{\sqrt{x}.\dfrac{3}{\sqrt{x}}}=2\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow A\ge2\sqrt{3}\)

Vậy\(A_{min}=2\sqrt{3}\), đạt được khi và chỉ khi \(\sqrt{x}=\dfrac{3}{\sqrt{x}}\Leftrightarrow x=3\left(tm\right)\)

\(A=\frac{x-13}{x+3}\inℤ\Leftrightarrow x-13⋮x+3\)

\(\Rightarrow x+3-16⋮x+3\)

      \(x+3⋮x+3\)

\(\Rightarrow16⋮x+3\)

tự làm tiếp!

b, \(A=\frac{x-13}{x+3}=\frac{x+3-16}{x+3}=\frac{x-3}{x-3}-\frac{16}{x+3}=1-\frac{16}{x+3}\)

để A đạt giá trị nhỏ nhất thì \(\frac{16}{x+3}\) lớn nhất

=> x+3 là số nguyên dương nhỏ nhất

=> x+3=1

=> x = -2

vậy x = -2 và \(A_{min}=1-\frac{16}{1}=-15\)

.....