Áp dụng định lý pitago vào tam giác vuông AEC ta có:

AC2=AE2+EC2

=>EC2=AC2-AE2=52-42=25-16=9

=>EC=3M

Ta có: BC = BE + EC

BE = BC – EC = 9 – 3 = 6(m)

Áp dụng định lí pitago vào tam giác vuông AEB, ta có:

AB2=AE2+EB2=42+62=16+36=52

Suy ra: AB = √52(m) ≈7,2m

a) Áp dụng định lí Pytago vào ΔAEC vuông tại E, ta được:

\(AC^2=AE^2+EC^2\)

\(\Leftrightarrow EC^2=AC^2-AE^2=5^2-4^2=9\)

hay EC=3(cm)

Vậy: EC=3cm

Ta có: BE+EC=BC(E nằm giữa B và C)

nên BE=BC-EC=9-3=6(cm)

Vậy: BE=6cm

Áp dụng định lí Pytago vào ΔABE vuông tại E, ta được:

\(AB^2=AE^2+BE^2\)

\(\Leftrightarrow AB^2=6^2+4^2=52\)

hay \(AB=2\sqrt{13}cm\)

Vậy: \(AB=2\sqrt{13}cm\)

b) Chu vi của tam giác ABC là: 

\(AB+AC+BC=2\sqrt{13}+5+9=14+2\sqrt{13}cm\)

Để chứng minh ΔAEB = ΔAEC, ta có thể sử dụng nguyên lý cắt giao. Vì AB = AC và AE là tia phân giác góc A, nên ta có AE là đường trung trực của đoạn thẳng BC. Từ đó, ta có AE ⊥ BC. Vì AE là đường trung trực của đoạn thẳng BC, nên ta cũng có BE = EC. Như vậy, ta đã chứng minh được ΔAEB = ΔAEC.

Chọn D

Vì \(DE//BC\) nên theo định lí Thales và hệ quả của định lí Thales ta có:

\(\frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{AE}}{{EC}};\frac{{BD}}{{AD}} = \frac{{EC}}{{AE}};\frac{{BD}}{{AB}} = \frac{{EC}}{{AC}};\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{DE}}{{BC}}\).

a: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=b^2+c^2\)

=>\(BC=\sqrt{b^2+c^2}\)

ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH=\frac{bc}{\sqrt{b^2+c^2}}\)

ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AB=AH^2\)

=>\(AE=\frac{bc}{\sqrt{b^2+c^2}}:c=\frac{b}{\sqrt{b^2+c^2}}\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao

nên \(AF\cdot AC=AH^2\)

=>\(AF=\frac{bc}{\sqrt{b^2+c^2}}:b=\frac{c}{\sqrt{b^2+c^2}}\)

b: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BH\cdot BC=BA^2\) ; \(CH\cdot CB=CA^2\)

Xét ΔABC vuông tại A có HF//AC

nên \(\frac{BF}{BA}=\frac{FH}{AC}\)

=>\(BF\cdot AC=BA\cdot FH\)

\(BF\cdot\sqrt{CH\cdot CB}+CE\cdot\sqrt{BH\cdot CB}\)

\(=BF\cdot\sqrt{CA^2}+CE\cdot\sqrt{BA^2}\)

\(=BF\cdot AC+CE\cdot AB\)

\(=BA\cdot FH+BA\cdot CE=BA\cdot\left(FH+CE\right)=BA\cdot\left(AE+CE\right)=BA\cdot AC\)

\(=AH\cdot BC\)

=>\(BF\cdot\sqrt{CH}+CE\cdot\sqrt{BH}=AH\cdot\sqrt{BC}\)