Xét tứ giác MIOK có

\(\widehat{MIO}+\widehat{MKO}=90^0+90^0=180^0\)

=>MIOK là tứ giác nội tiếp

=>M,I,O,K cùng thuộc một đường tròn

lấy A là trung điểm của OM,xét tam giác OMI có:
A là trung điểm của OM
O,M,I thuộc 1 đường tròn. (1)
Xét tam giác OMK có A là trung điểm của OM
O,M,K thuộc 1 đường tròn (2)
từ (1) và (2) suy ra 4 điểm M,I,O,K cùng thuộc 1 đường tròn
 

a: Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó:MA=MB và OM là phân giác của góc AOB

ΔOAB cân tại O

mà OM là đường phân giác

nên OM⊥AB

Xét (O) có

ΔBAC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBAC vuông tại A

=>AB⊥ AC
mà OM⊥AB

nên OM//AC

b: Xét ΔOAM vuông tại A có AH là đường cao

nên \(OH\cdot OM=OA^2\)

=>\(OH\cdot OM=R^2\)

=>\(OH\cdot OM=OC^2\)

=>\(\frac{OH}{OC}=\frac{OC}{OM}\)

Xét ΔOHC và ΔOCM có

\(\frac{OH}{OC}=\frac{OC}{OM}\)

góc HOC chung

Do đó: ΔOHC~ΔOCM

=>\(\hat{OCH}=\hat{OMC}\)

Lời giải:

Vì $MA,MB$ là tiếp tuyến của $O$ nên $MA\perp OA, MB\perp OB$

$\Rightarrow \widehat{MAO}=\widehat{MBO}=90^0$

Xét tứ giác $MAOB$ có $\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=90^0+90^0=180^0$. Mà 2 góc này đối nhau nên $MAOB$ là tứ giác nội tiếp.

$\Rightarrow M, A,O,B$ cùng thuộc 1 đường tròn (1)

Mặt khác:

Tam giác $ONP$ cân tại $O$ (do $ON=OP=R$) nên trung tuyến $OK$ đồng thời là đường cao.

$\Rightarrow \widehat{MKO}=90^0$

Xét tứ giác $MAKO$ có $\widehat{MAO}=\widehat{MKO}=90^0$. Mà 2 góc này cùng nhìn cạnh $MO$ nên $MAKO$ là tứ giác nội tiếp.

$\Rightarrow M,A,K,O$ cùng thuộc 1 đường tròn (2)

Từ $(1); (2)\Rightarrow M, A, O, K,B$ cùng thuộc 1 đường tròn.

Lời giải:

Vì $MA,MB$ là tiếp tuyến của $O$ nên $MA\perp OA, MB\perp OB$

$\Rightarrow \widehat{MAO}=\widehat{MBO}=90^0$

Xét tứ giác $MAOB$ có $\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=90^0+90^0=180^0$. Mà 2 góc này đối nhau nên $MAOB$ là tứ giác nội tiếp.

$\Rightarrow M, A,O,B$ cùng thuộc 1 đường tròn (1)

Mặt khác:

Tam giác $ONP$ cân tại $O$ (do $ON=OP=R$) nên trung tuyến $OK$ đồng thời là đường cao.

$\Rightarrow \widehat{MKO}=90^0$

Xét tứ giác $MAKO$ có $\widehat{MAO}=\widehat{MKO}=90^0$. Mà 2 góc này cùng nhìn cạnh $MO$ nên $MAKO$ là tứ giác nội tiếp.

$\Rightarrow M,A,K,O$ cùng thuộc 1 đường tròn (2)

Từ $(1); (2)\Rightarrow M, A, O, K,B$ cùng thuộc 1 đường tròn.

Hình vẽ:

dễ ẹc!!!!!!!!

Trả lời :

Bn Nguyễn Tũn bảo dễ ẹt thì làm đi.

- Hok tốt !

^_^

a: Qua A, ke tiếp tuyến AI chung của hai đường tròn (O) và (O'), với I∈DE

Xét (O) có

ΔADB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔADB vuông tại D

=>AD⊥MB tại D

Xét (O') có

ΔAEC nội tiếp

AC là đường kính

Do đó: ΔAEC vuông tại E

=>AE⊥MC tại E

Xét (O) có

IA,ID là các tiếp tuyến

DO đó: IA=ID và IO là phân giác của góc DIA

Xét (O') có

IA,IE là các tiếp tuyến

DO đó: IA=IE và IO' là phân giác của góc EIA

IA=ID

IA=IE

Do đó: ID=IE

=>I là trung điểm của DE

Xét ΔADE có

AI là đường trung tuyến

\(AI=\frac{DE}{2}\)

Do đó: ΔADE vuông tại A

Xét tứ giác MDAE có \(\hat{MDA}=\hat{MEA}=\hat{DAE}=90^0\)

nên MDAE là hình chữ nhật

=>\(\hat{DME}=90^0\)

b: MDAE là hình chữ nhật

=>MA cắt DE tại trung điểm của mỗi đường

mà I là trung điểm của DE

nên I là trung điểm của MA

=>MA⊥ BC tại A

Xét (O) có

OA là bán kính

MA⊥ OA tại A

Do đó: MA là tiếp tuyến tại A của (O)

Xét (O') có

O'A là bán kính

MA⊥ AO' tại A

Do đó: MA là tiếp tuyến tại A của (O')

c: Xét ΔMAB vuông tại A có AD là đường cao

nên \(MD\cdot MB=MA^2\left(1\right)\)

Xét ΔMAC vuông tại A có AE là đường cao

nên \(ME\cdot MC=MA^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(MD\cdot MB=ME\cdot MC\)

giup minh gap voi!!!

Do MA và MB là 2 tiếp tuyến \(\Rightarrow\widehat{OAM}=\widehat{OBM}=90^0\)

Mà tổng 4 góc trong tức giác bằng 360 độ

\(\Rightarrow\widehat{AOB}=360^0-\left(\widehat{OAM}+\widehat{OBM}+\widehat{AMB}\right)=140^0\)

b. Do MA, MB là 2 tiếp tuyến \(\Rightarrow OM\) đồng thời là phân giác \(\widehat{AMB}\)

\(\Rightarrow\widehat{AMO}=\widehat{BMO}=\dfrac{1}{2}\widehat{AMB}\) (1)

Mà ON song song AM (cùng vuông góc OA)

\(\Rightarrow\widehat{AMO}=\widehat{NOM}\) (so le trong) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow\widehat{NOM}=\widehat{BMO}\)

\(\Rightarrow\Delta OMN\) cân tại N

a: Xét (O) có

\(\hat{IAK}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AI và dây cung AK

\(\hat{ABK}\) là góc nội tiếp chắn cung AK

Do đó: \(\hat{IAK}=\hat{ABK}\)

Xét ΔIAK và ΔIBA có

\(\hat{IAK}=\hat{IBA}\)

góc AIK chung

Do đó: ΔIAK~ΔIBA

=>\(\frac{IA}{IB}=\frac{IK}{IA}\)

=>\(IK\cdot IB=IA^2=IM^2\)

=>\(\frac{IK}{IM}=\frac{IM}{IB}\)

Xét ΔIKM và ΔIMB có

\(\frac{IK}{IM}=\frac{IM}{IB}\)

góc KIM chung

Do đó: ΔIKM~ΔIMB

b: ΔIKM~ΔIMB

=>\(\hat{IBM}=\hat{IMK}\)

=>\(\hat{IMK}=\hat{KBM}\)

Xét (O) có

\(\hat{KBM}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BM và dây cung BK

\(\hat{KCB}\) là góc nội tiếp chắn cung KB

Do đó: \(\hat{KBM}=\hat{KCB}\)

=>\(\hat{KCB}=\hat{KMI}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên BC//AM

GMHCjgf,ghj,,g,gjmghfmjfg

a: ΔOAM vuông tại A

=>\(AM^2+AO^2=OM^2\)

=>\(AM^2=\left(2R\right)^2-R^2=3R^2\)

=>\(AM=R\sqrt3\)

b: ΔOAB cân tại O

mà OM là đường cao

nên OM là phân giác của góc AOB

Xét ΔOAM và ΔOBM có

OA=OB

\(\hat{AOM}=\hat{BOM}\)

OM chung

Do đó: ΔOAM=ΔOBM

=>\(\hat{OAM}=\hat{OBM}\)

=>\(\hat{OBM}=90^0\)

=>MB là tiếp tuyến tại B của (O)