z C B O A D y S x M N

a. Do ABCD là hình thoi có tâm là O nên từ giả thiết ta có :

\(C=\left(-2;0;0\right)\)

\(D=\left(0;-1;0\right)\)

Từ đó M là trung điểm của SC nên :

\(M\left(-1;0=-\sqrt{2}\right)\)

Ta có \(\overrightarrow{SA}=\left(2;0;-2\sqrt{2}\right)\)

         \(\overrightarrow{BM}=\left(-1;-1;\sqrt{2}\right)\)

Gọi \(\alpha\) là góc giữa 2 đường thẳng SA, MB, ta có :

\(\cos\alpha=\frac{\left|\overrightarrow{SA.}\overrightarrow{BM}\right|}{\left|\overrightarrow{SA}\right|.\left|\overrightarrow{MB}\right|}=\frac{\left|-2-4\right|}{\sqrt{4+8}.\sqrt{1+2+1}}=\frac{6}{4\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Vậy \(\alpha=60^0\)

Để tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau SA, BM ta sử dụng công thức :

\(d\left(SA;BM\right)=\frac{\left|\left[\overrightarrow{SA};\overrightarrow{BM}\right].\overrightarrow{AB}\right|}{\left|\left[\overrightarrow{SA};\overrightarrow{BM}\right]\right|}\)  (1)

Theo công thức  xác định tọa độ vecto \(\left[\overrightarrow{SA};\overrightarrow{BM}\right]\) ta có :

\(\left[\overrightarrow{SA};\overrightarrow{BM}\right]=\left(\left|\begin{matrix}0&-2\sqrt{2}\\-1&\sqrt{2}\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}-2\sqrt{2}&2\\\sqrt{2}&-1\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}2&0\\-1&-1\end{matrix}\right|\right)\)

                  \(=\left(-2\sqrt{2};1;0\right)\)

\(\Rightarrow\left|\left[\overrightarrow{SA};\overrightarrow{BM}\right]\right|=\sqrt{12}\)

\(\overrightarrow{AB}=\left(-2;1;0\right)\)

\(\Rightarrow\left[\overrightarrow{SA};\overrightarrow{BM}\right].\overrightarrow{AB}=4\sqrt{2}\)

Thay vào (1) ta có :

\(d\left(SA;BM\right)=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{12}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}\)

b. Vì AB \\ mặt phẳng (SDC) nên MN \\ DC. Suy ra N là trung điểm của SD

\(\Rightarrow N=\left(0;-\frac{1}{2};\sqrt{2}\right)\)

Dễ thấy :

\(V_{S.ABMN}=V_{S.ABN}+V_{S.BMN}\)

              \(=\frac{1}{6}\left|\left[\overrightarrow{SA};\overrightarrow{BM}\right].\overrightarrow{SN}\right|+\frac{1}{6}\left|\left[\overrightarrow{SB};\overrightarrow{SM}\right].\overrightarrow{SN}\right|\)    (2)

Ta có \(\overrightarrow{SA}=\left(2;0;-2\sqrt{2}\right)\)

         \(\overrightarrow{SN}=\left(0;-\frac{1}{2};-\sqrt{2}\right)\)

         \(\overrightarrow{SB}=\left(0;1;-2\sqrt{2}\right)\)

         \(\overrightarrow{SM}=\left(-1;0;-\sqrt{2}\right)\)

Ta lại có :

\(\left[\overrightarrow{SA};\overrightarrow{SB}\right]=\left(\left|\begin{matrix}0&-2\sqrt{2}\\-1&-2\sqrt{2}\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}-2\sqrt{2}&2\\-2\sqrt{2}&0\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}2&0\\0&1\end{matrix}\right|\right)\)

                 \(=\left(2\sqrt{2};4\sqrt{2};2\right)\)

\(\left[\overrightarrow{SB};\overrightarrow{SM}\right]=\left(\left|\begin{matrix}1&-2\sqrt{2}\\0&\sqrt{2}\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}-2\sqrt{2}&0\\-\sqrt{2}&-1\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}\right|\right)\)

                 \(=\left(-\sqrt{2};2\sqrt{2};1\right)\)

Thay vào (2) được :

\(V_{S.ABMN}=\frac{1}{6}\left(\left|-2\sqrt{2}-2\sqrt{2}\right|+\left|-\sqrt{2}-\sqrt{2}\right|\right)=\sqrt{2}\)

Lời giải:

$\widehat{BAD}=60^0\Rightarrow \widehat{BAO}=30^0$

$\frac{BO}{AB}=\sin \widehat{BAO}=\sin 30^0=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow BO=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2}$

$BD=2BO=a$

$\frac{AO}{AB}=\cos \widehat{BAO}=\cos 30^0=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow AO=\frac{\sqrt{3}a}{2}$

$\Rightarrow AC=\sqrt{3}a$

$S_{ABCD}=\frac{BD.AC}{2}=\frac{\sqrt{3}a^2}{2}$

$V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.SO.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{3a}{4}.\frac{\sqrt{3}a^2}{2}=\frac{\sqrt{3}a^3}{8}$

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

ABCD là hình thoi ⇒ AC ⊥ BD,

Vì O là trung điểm của AC, BD nên:

Vì $ABCD$ là hình thoi nên hai đường chéo vuông góc và cắt nhau tại trung điểm.

Diện tích đáy:

$S_{ABCD} = \dfrac{AC \cdot BD}{2} = \dfrac{a\sqrt3 \cdot a}{2} = \dfrac{a^2\sqrt3}{2}$

Đặt hệ trục tọa độ: $A\left(-\dfrac{a\sqrt3}{2},0,0\right),\ C\left(\dfrac{a\sqrt3}{2},0,0\right),\ B\left(0,\dfrac{a}{2},0\right),\ D\left(0,-\dfrac{a}{2},0\right)$.

Gọi $H$ là trung điểm $AB$:

$H\left(-\dfrac{a\sqrt3}{4},\dfrac{a}{4},0\right)$.

Vì $(SAB)\perp(ABCD)$ nên $SH \perp (ABCD)$, đặt $S\left(-\dfrac{a\sqrt3}{4},\dfrac{a}{4},h\right)$.

Tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$ nên:

$\vec{SA} = \left(-\dfrac{a\sqrt3}{4}, -\dfrac{a}{4}, -h\right),\

\vec{SB} = \left(\dfrac{a\sqrt3}{4}, \dfrac{a}{4}, -h\right)$

Điều kiện vuông góc:

$\vec{SA} \cdot \vec{SB} = -\dfrac{3a^2}{16} - \dfrac{a^2}{16} + h^2 = 0$

$\Rightarrow h^2 = \dfrac{a^2}{4} \Rightarrow h = \dfrac{a}{2}$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot h = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{a^2\sqrt3}{2} \cdot \dfrac{a}{2} = \dfrac{a^3\sqrt3}{12}$

Vậy: $V = \dfrac{a^3\sqrt3}{12}$

Đáp án C

Vì $ABCD$ là hình thoi nên hai đường chéo vuông góc và cắt nhau tại trung điểm.

Diện tích đáy:

$S_{ABCD} = \dfrac{AC \cdot BD}{2} = \dfrac{a\sqrt3 \cdot a}{2} = \dfrac{a^2\sqrt3}{2}$

Đặt hệ trục tọa độ: $A\left(-\dfrac{a\sqrt3}{2},0,0\right),\ C\left(\dfrac{a\sqrt3}{2},0,0\right),\ B\left(0,\dfrac{a}{2},0\right),\ D\left(0,-\dfrac{a}{2},0\right)$.

Vì $(SAB)$ vuông góc với đáy và tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$ nên $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy qua trung điểm $H$ của $AB$.

$H\left(-\dfrac{a\sqrt3}{4},\dfrac{a}{4},0\right)$, đặt $S\left(-\dfrac{a\sqrt3}{4},\dfrac{a}{4},h\right)$.

Ta có $SA = SB$ và $\angle ASB = 90^\circ$:

$\vec{SA} = \left(-\dfrac{a\sqrt3}{4}, -\dfrac{a}{4}, -h\right),\ \vec{SB} = \left(\dfrac{a\sqrt3}{4}, \dfrac{a}{4}, -h\right)$

Điều kiện vuông góc:

$\vec{SA} \cdot \vec{SB} = -\dfrac{3a^2}{16} - \dfrac{a^2}{16} + h^2 = 0$

$\Rightarrow h^2 = \dfrac{4a^2}{16} = \dfrac{a^2}{4} \Rightarrow h = \dfrac{a}{2}$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot h = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{a^2\sqrt3}{2} \cdot \dfrac{a}{2} = \dfrac{a^3\sqrt3}{12}$

Vậy: $V = \dfrac{a^3\sqrt3}{12}$

Chọn C.

Chọn B

Chọn B.

a) \(SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow \left( {SA,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SA,OA} \right) = \widehat {SAO}\)

Tam giác \(SAC\) là tam giác đều \( \Rightarrow \widehat {SAO} = {60^ \circ }\)

\( \Rightarrow \left( {SA,\left( {ABCD} \right)} \right) = {60^ \circ }\)

b) \(ABC{\rm{D}}\) là hình vuông \( \Rightarrow AC \bot B{\rm{D}}\)

\(SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot AC\)

\( \Rightarrow AC \bot \left( {SB{\rm{D}}} \right)\)

\( \Rightarrow \left( {SA,\left( {SB{\rm{D}}} \right)} \right) = \left( {SA,SO} \right) = \widehat {ASO} = \frac{1}{2}\widehat {ASC} = {30^ \circ }\)

c) \(SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot MO,SO \bot DO\)

Vậy \(\widehat {MO{\rm{D}}}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {M,SO,D} \right]\)

\(ABCD\) là hình vuông \(\widehat {AOD} = {90^ \circ }\)

\(\Delta AMO\) vuông cân tại \(M \Rightarrow \widehat {AOM} = {45^ \circ }\)

\( \Rightarrow \widehat {MO{\rm{D}}} = \widehat {AOM} + \widehat {AO{\rm{D}}} = {45^ \circ } + {90^ \circ } = {135^ \circ }\)

Vậy số đo của góc nhị diện \(\left[ {M,SO,D} \right]\) bằng \({135^ \circ }\).

Đáp án C

Ta có:  S A O B = 1 4 S A B C D

Do đó V S . A B C D V S . A O B = S A B C D . S H S A O B . S H = 4