Đoạn thẳng AB có trung điểm là I(2; 2; 3)

Mặt phẳng trung trực của đoạn AB đi qua I và có vecto pháp tuyến là  n →  =  IB →  = (1; 4; −1). Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là:

1(x – 2) + 4(y – 2) – 1(z – 3) = 0 hay x + 4y – z – 7 = 0.

Giải:

Cách 1 : Mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng AB chính là đoanh thẳng qua trung điểm I của AB và vuông góc với vectơ

Ta có (2 ; -2; -4) và I(3 ; 2 ; 5) nên phương trình mặ phẳng (P) là:

2(x - 3) - 2(y - 2) - 4(z - 5) = 0 hay x- -2y -2z + 9 = 0.

Cách 2: Mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng AB là tập hợp điểm M(x ; y ; z) trong không gian sao cho:

MA = MB ⇔ MA² = MB²

⇔ (x – 2)² + (y – 3)² + (z – 7)² = (x – 4)² + (y – 1)² + (z – 3)²

⇔ - 4x + 4 - 6y + 9 - 14z + 49 = - 8x + 16 - 2y + 1 - 6z +9

⇔ 4x - 4y - 8z + 36 = 0

⇔ x - y - 2z + 9 = 0.

Gọi M là trung điểm của AB, ta có \(M=\left(\frac{3}{2};\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right)\)

Vì (P) là mặt phẳng trung trực của AB nên (P) đi qua M và \(\overrightarrow{AB}=\left(-1;1;-1\right)\) là một vecto pháp tuyến  của (P)

Suy ra, phương trình của (P) là : \(\left(-1\right)\left(x-\frac{3}{2}\right)+\left(y-\frac{1}{2}\right)+\left(-1\right)\left(z+\frac{1}{2}\right)=0\)

                                        hay : \(2x-2y+2z-1=0\)

Ta có : \(d\left(O,\left(P\right)\right)=\frac{\left|-1\right|}{\sqrt{2^2+\left(-2\right)^2+2^2}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}\)

Do đó phương trình mặt cầu tâm O , tiếp xúc với (P) là \(x^2+y^2+z^2=\frac{1}{12}\)

                                                                          hay : \(12x^2+12y^2+12z^2-1=0\)

Đáp án đúng : C

a; A(-1;3); B(0;2)

=>\(\overrightarrow{AB}=\left(0+1;2-3\right)=\left(1;-1\right)\)

=>Vecto pháp tuyến là (1;1)

Phương trình đường thẳng AB là:

1(x+1)+1(y-3)=0

=>x+1+y-3=0

=>x+y-2=0

b: Tọa độ trung điểm I của AB là:

\(\begin{cases}x_{I}=\frac12\cdot\left(x_{A}+x_{B}\right)=\frac12\cdot\left(-1+0\right)=-\frac12\\ y_{I}=\frac12\cdot\left(y_{A}+y_{B}\right)=\frac12\left(3+2\right)=\frac52\end{cases}\)

=>I(-0,5;2,5)

=>Phương trình đường trung trực của AB sẽ đi qua I(-0,5;2,5) và nhận \(\overrightarrow{AB}=\left(1;-1\right)\) làm vecto pháp tuyến

Phương trình đường trung trực của AB là:

1(x+0,5)+(-1)(y-2,5)=0

=>x+0,5-y+2,5=0

=>x-y+3=0

c: Gọi (Δ): ax+by+c=0 là phương trình đường thẳng cần tìm

(Δ)//(Δ1) nên (Δ): 2x-y+c=0

Thay x=-1 và y=3 vào 2x-y+c=0, ta được:

2*(-1)-3+c=0

=>c-2-3=0

=>c-5=0

=>c=5

d: Gọi (Δ): ax+by+c=0 là phương trình đường thẳng cần tìm

(Δ1): 2x-y-2=0

(Δ)⊥(Δ1) nên (Δ): x+2y+c=0

Thay x=-1 và y=3 vào (Δ), ta được:

\(-1+2\cdot3+c=0\)

=>c+5=0

=>c=-5

=>(Δ): x+2y-5=0

e: Hệ số góc là k=-3 nên y=-3x+b

Thay x=0 và y=2 vào y=-3x+b, ta được:

\(-3\cdot0+b=2\)

=>b=2

=>y=-3x+2

Gọi M(2;1) và d lần lượt là trung điểm và đường trung trực của AB.

Một vectơ pháp tuyến của d là \(\overrightarrow{n}\)=\(\overrightarrow{AB}\)=(2;0).

Phương trình cần tìm:

d: 2.(x-2)+0.(y-1)=0 \(\Rightarrow\) x=2.

Đáp án A.