(α) đi qua B và vuông góc với SC
SA⊥(ABC), mp(SAC) đi qua SC và (SAC)⊥(ABC). Giao tuyến của (α) với mặt đáy (ABC) là một đường thẳng đi qua B và vuông góc với hình chiếu của SC lên (ABC) chính là đường thẳng AC.

Trong mặt phẳng (ABC), kẻ BE⊥AC tại E

ΔBAC đều

mà BE là đường cao

nên E là trung điểm của AC

=>(ABC) giao (α)=BE

Trong mp(SAC), kẻ EH⊥SC tại H

mà (α)⊥SC

nên (α) giao (SAC)=EH

Nối B và H, ta được: (SBC) giao (α)=BH

Do đó: Thiết diện của (α) và S.ABC là ΔBHE

ΔBAC đều có BE là đường cao

nên \(BE=BA\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{a\sqrt3}{2}\)

ΔSAC vuông tại A

=>\(SA^2+AC^2=SC^2\)

=>\(SC = \sqrt{SA^2 + AC^2} = \sqrt{(2a)^2 + a^2} = a\sqrt{5}\)

Xét ΔSEC vuông tại E và ΔSAC vuông tại A có

góc SCE chung

Do đó: ΔSEC~ΔSAC
=>\(\frac{EH}{SA}=\frac{CE}{CS}\)

\(\implies EH=SA\cdot\frac{CE}{CS}=2a\cdot\frac{a/2}{a\sqrt{5}}=\frac{a}{\sqrt{5}}=\frac{a\sqrt{5}}{5}\)

ΔSAB vuông ttại A

=>\(SA^2+AB^2=SB^2\)

=>\(SB^2=a^2+\left(2a\right)^2=5a^2\)

=>\(SB=a\sqrt5\)

Xét ΔCHE vuông tại H và ΔCAS vuông tại A có

góc HCE chung

Do đó: ΔCHE~ΔCAS
=>\(\frac{CH}{CA}=\frac{CE}{CS}\)

=>\(CH=CE\cdot\frac{CA}{CS}=a\cdot\frac{a\sqrt2}{a\sqrt5}=a\cdot\sqrt{\frac25}=\frac{a\sqrt{10}}{5}\)

=>\(SH = SC - CH = a\sqrt{5} - \frac{a\sqrt{5}}{10} = \frac{9a\sqrt{5}}{10}\)

Xét ΔSBC có

\(\cos(\widehat{BSC}) = \frac{SB^2 + SC^2 - BC^2}{2 \cdot SB \cdot SC} = \frac{5a^2 + 5a^2 - a^2}{2 \cdot 5a^2} = \frac{9}{10}\)

\(BH^2 = SB^2 + SH^2 - 2 \cdot SB \cdot SH \cdot \cos(\widehat{BSC})\)

\(=(a\sqrt{5})^2+\left(\frac{9a\sqrt{5}}{10}\right)^2-2\cdot(a\sqrt{5})\cdot\left(\frac{9a\sqrt{5}}{10}\right)\cdot\frac{9}{10}\)

\(=5a^2+\frac{405a^2}{100}-\frac{810a^2}{100}=5a^2-\frac{405a^2}{100}=\frac{95a^2}{100}\)

=>\(BH=\frac{a\sqrt{95}}{10}\)

Xét ΔBEH có \(BE^2+EH^2=BH^2\)

nên ΔBEH vuông tại E

=>\(S_{BEH} = \frac{1}{2} \cdot BE \cdot EH = \frac{1}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{5}}{5} = \frac{a^2\sqrt{15}}{20}\)

Ta có: \(E\) là trung điểm của \(AB\)

\(F\) là trung điểm của \(AC\)

\( \Rightarrow EF\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\)

\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow EF\parallel BC\\BC \subset \left( {BC{\rm{D}}} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow EF\parallel \left( {BC{\rm{D}}} \right)\)

\(E\) là trung điểm của \(AB\)

\(H\) là trung điểm của \(AD\)

\( \Rightarrow EH\) là đường trung bình của tam giác \(ABD\)

\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow EH\parallel BD\\BD \subset \left( {BC{\rm{D}}} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow EH\parallel \left( {BC{\rm{D}}} \right)\)

Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}EF\parallel \left( {BCD} \right)\\EH\parallel \left( {BCD} \right)\\EF,EH \subset \left( {EFH} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {EFH} \right)\parallel \left( {BCD} \right)\)

1: BD vuông góc AC

BD vuông góc SA

=>BD vuông góc (SAC)

=>(SAC) vuông góc (SBD)