\(P=x^3+x^2y-5x^2-x^2y-xy^2+5xy+3\left(x+y\right)+2000\\ =x^2\left(x+y-5\right)-xy\left(x+y-5\right)+3\left(x+y-5\right)+2015\\ =x^2\left(5-5\right)-xy\left(5-5\right)+3\left(5-5\right)+2015\\ =2015\)

`P = x^3 + x^2 - 5x^2 - x^2y + xy^2 + 5xy + 3(x+y) + 2000`

`P = x^2(x+y) - (x+y)x^2 - xy(x+y) + (x+y)xy + 3(x+y) + 2000`

`P = 0 + 0 + 3.5 + 2000`

`P = 2015`

b:

ĐKXĐ: x<>0

\(A=\frac{5x^2-x+1}{x^2}\)

\(=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}+5\)

\(=\frac{1}{x^2}-2\cdot\frac{1}{x}\cdot\frac12+\frac14+\frac{19}{4}\)

\(=\left(\frac{1}{x}-\frac12\right)^2+\frac{19}{4}\ge\frac{19}{4}\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ

Dấu '=' xảy ra khi \(\frac{1}{x}-\frac12=0\)

=>\(\frac{1}{x}=\frac12\)

=>x=2

Lời giải:

Đặt $x=a; \frac{y}{2}=b$ thì bài toán trở thành:

Tìm min $A=\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+2ab$ với $ab\geq 1$
----------------------------------

Với $ab\geq 1$, ta có BĐT khá quen thuộc:

$\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\geq \frac{2}{ab+1}$ (để cm BĐT này bạn chỉ cần biến đổi tương đương) 

Áp dụng vào bài và sử dụng thêm BĐT AM-GM:

$A\geq \frac{2}{ab+1}+2ab=\frac{2}{ab+1}+\frac{ab+1}{2}+\frac{3ab-1}{2}$

$\geq 2\sqrt{\frac{2}{ab+1}.\frac{ab+1}{2}}+\frac{3ab-1}{2}$

$=2+\frac{3ab-1}{2}\geq 2+\frac{3.1-1}{2}=3$

Vậy $A_{\min}=3$.

b: \(T=\frac{2x^4-4x^2+8}{x^4+4}\)

=>\(T\left(x^4+4\right)=2x^4-4x^2+8\)

=>\(T\cdot x^4+4T-2x^4+4x^2-8=0\)

=>\(x^4\cdot\left(T-2\right)+4x^2+4T-8=0\) (1)

Đặt \(a=x^4\)

(1) sẽ trở thành: \(a^2\cdot\left(T-2\right)+4\cdot a+4T-8=0\) (2)

\(\Delta=4^2-4\left(T-2\right)\left(4T-8\right)=16-16\left(T-2\right)\cdot\left(T-2\right)\)

\(=16-16\left(T-2\right)^2\)

Để (2) có nghiệm thì Δ>=0

=>\(16-16\left(T-2\right)^2\ge0\)

=>\(16\left(T-2\right)^2\le16\)

=>\(\left(T-2\right)^2\le1\)

=>-1<=T-2<=1

=>1<=T<=3

Để T có giá trị lớn nhất thì T=3

=>\(2x^4-4x^2+8=3x^4+12\)

=>\(3x^4+12-2x^4+4x^2-8=0\)

=>\(x^4+4x^2+4=0\)

=>\(\left(x^2+2\right)^2=0\) (vô lý)

=>T không có giá trị lớn nhất

a: \(S=\frac{5x^4+4x^2+10}{x^4+2}=5+\frac{4x^2}{x^4+2}\)

Đặt \(A=\frac{4x^2}{x^4+2}\)

=>\(A\left(x^4+2\right)=4x^2\)

=>\(A\cdot x^4-4x^2+2A=0\) (1)

Đặt \(t=x^2\) (ĐK: t>=0)

(1) sẽ trở thành: \(A\cdot t^2-4t+2A=0\) (2)

\(\Delta=\left(-4\right)^2-4\cdot A\cdot2A=-8A^2+16\)

Để (2) có nghiệm thì Δ>=0

=>\(-8A^2+16\ge0\)

=>\(8A^2\le16\)

=>\(A^2\le2\)

=>\(-\sqrt2\le A\le\sqrt2\)

=>\(-\sqrt2+5\le A+5\le\sqrt2+5\)

=>\(5-\sqrt2\le S<=5+\sqrt2\)

=>S nhỏ nhất khi \(S=5-\sqrt2\)

=>\(A=-\sqrt2\)

(2) sẽ trở thành: \(t^2\cdot\left(-\sqrt2\right)-4t-2\sqrt2=0\)

\(\Delta=\left(-4\right)^2-4\cdot\left(-\sqrt2\right)\cdot\left(-2\sqrt2\right)=16-4\cdot4=0\)

=>(2) có nghiệm duy nhất là \(t=\frac{4}{2\cdot\left(-\sqrt2\right)}=-\sqrt2\) (loại)

=>S không có giá trị nhỏ nhất

@Arakawa White

@DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG

@Nguyễn Việt Lâm

@Nguyễn Huy Tú

giúp với ạ !

@Trần Trung Nguyên

b, đk: \(x\ge1,y\ge2,z\ge3\)

\(=>B=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x}+\dfrac{\sqrt{y-2}}{y}+\dfrac{\sqrt{z-3}}{z}\)

đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-1}=a\\\sqrt{y-2}=b\\\sqrt{z-3}=c\end{matrix}\right.\)\(=>\left\{{}\begin{matrix}x=a^2+1\\y=b^2+1\\z=c^2+1\end{matrix}\right.\)\(=>a\ge0,b\ge0,c\ge0\)

B trở thành \(\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{b}{b^2+1}+\dfrac{c}{c^2+1}\)

\(=\dfrac{a^{ }}{a^2+1}+\dfrac{a^2+1}{4}+\dfrac{b}{b^2+1}+\dfrac{b^2+1}{4}+\dfrac{c}{c^2+1}+\dfrac{c^2+1}{4}\)

\(-\left(\dfrac{a^2+b^2+c^2+3}{4}\right)\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}-\dfrac{a^2+b^2+c^2}{4}\)\(=0\)

dấu"=" xảy ra<=>\(a=0,b=0,c=0< =>x=1,y=2,z=3\)

Chắc bạn ghi nhầm đề, tìm GTLN mới đúng, chứ GTNN của các biểu thức này đều hiển nhiên bằng 0

\(A=\dfrac{3.\sqrt{x-9}}{15x}\le\dfrac{3^2+x-9}{30x}=\dfrac{1}{30}\)

\(A_{max}=\dfrac{1}{30}\) khi \(x=18\)

\(B=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x}+\dfrac{\sqrt{y-2}}{y}+\dfrac{\sqrt{z-3}}{z}=\dfrac{1.\sqrt{x-1}}{x}+\dfrac{\sqrt{2}.\sqrt{y-2}}{\sqrt{2}y}+\dfrac{\sqrt{3}.\sqrt{z-3}}{\sqrt{3}z}\)

\(B\le\dfrac{1+x-1}{2x}+\dfrac{2+y-2}{2\sqrt{2}y}+\dfrac{3+z-3}{2\sqrt{3}z}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}+\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(2;4;6\right)\)