Lời giải:
Ta có:
$A> \frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}=\frac{x+y+z}{x+y+z}=1(1)$

Mặt khác:

$\frac{x}{x+y}-\frac{x+z}{x+y+z}=\frac{-yz}{(x+y)(x+y+z)}<0$ với mọi $x,y,z$ nguyên dương.

$\Rightarrow \frac{x}{x+y}< \frac{x+z}{x+y+z}$

Hoàn toàn tương tự:

$\frac{y}{y+z}< \frac{x+y}{x+y+z}$

$\frac{z}{z+x}< \frac{z+y}{z+y+x}$

Cộng các BĐT trên lại ta có:
$A< \frac{x+y}{x+y+z}+\frac{y+z}{x+y+z}+\frac{z+x}{x+y+z}=2(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow 1< A< 2$ nên $A$ không thể có giá trị nguyên.

\(\left(1\right)\)Tại x=-1, ta có: \(P=3x^2+5=3\left(-1\right)^2+5=3+5=8\)

Tại x=0, ta có: \(P=3x^2+5=3.0^2+5=0+5=5\)

Tại x=3, ta có: \(P=3x^2+5=3.3^2+5=3.9+5=27+5=32\)

(2) Ta có: \(P=3x^2+5\)mà  \(x^2\ge0\)với mọi x => 3x^2 \(\ge\)0 với mọi x 

Lại có 5 dương => P \(\ge\)0 hay đa thức P luôn dương với mọi giá trị của x

a, \(-x^2+2x-5=-\left(x^2-2x+5\right)=-\left(x^2-2x+1+4\right)\)

\(=-\left[\left(x-1\right)^2+4\right]\)

do \(\left(x-1\right)^2\ge0=>\left(x-1\right)^2+4\ge4=>-\left[\left(x-1\right)^2+4\right]\le-4< 0\)

Vậy ko tồn tại..........

b, \(-4x^2+8x-13=-4\left(x^2-2x+\dfrac{13}{4}\right)\)

\(=-4\left[x^2-2x+1+\dfrac{9}{4}\right]=-4\left[\left(x-1\right)^2+\dfrac{9}{4}\right]\le-9< 0\)

vậy....

c, \(\dfrac{-2021}{x^2+2}\) do \(x^2+2>2=>\dfrac{-2012}{x^2+2}< -1006< 0\)

vậy,,,,,,,,,,

d, \(-3x^2+6x-4=-3\left(x^2-2x+\dfrac{4}{3}\right)=-3\left(x^2-2x+1+\dfrac{1}{3}\right)\)

\(=-3\left[\left(x-1\right)^2+\dfrac{1}{3}\right]\le-1< 0\)

vậy...

Sửa đề (x + 5)² - (x - 5)² - 20x + 2

= x² + 10x + 25 - x² + 10x - 25 - 20x + 2

= 2

=> Biểu thức trên không phụ thuộc vào biến

Sửa đề :

(x + 5)² - (x - 5)² - 20x + 2

= x² + 10x + 26 - x² + 10x - 25 - 20x + 2

= 2

=> Biểu thức trên ko phụ thuộc vào biến.

\(\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}}=\sqrt{\dfrac{x^2+\left(x+1\right)^2+x^2\left(x+1\right)^2}{x^2\left(x+1\right)^2}}=\sqrt{\dfrac{x^2\left(x+1\right)^2+2x^2+2x+1}{x^2\left(x+1\right)^2}}\)

\(=\sqrt{\dfrac{\left(x^2+x\right)^2+2\left(x^2+x\right)+1}{\left(x^2+x\right)^2}}=\sqrt{\dfrac{\left(x^2+x+1\right)^2}{\left(x^2+x\right)^2}}=\dfrac{x^2+x+1}{x^2+x}\)

\(=1+\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}\)

\(\Rightarrow f\left(1\right).f\left(2\right)...f\left(2020\right)=5^{1+1-\dfrac{1}{2}+1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+1+\dfrac{1}{2020}-\dfrac{1}{2021}}\)

\(=5^{2021-\dfrac{1}{2021}}\)

\(\Rightarrow\dfrac{m}{n}=2021-\dfrac{1}{2021}=\dfrac{2021^2-1}{2021}\)

\(\Rightarrow m-n^2=2021^2-1-2021^2=-1\)

a, Khi x = 2, ta được: 

\(A=\dfrac{4}{2\sqrt{2}-2}=2+2\sqrt{2}\)

b, \(B=\dfrac{\sqrt{x}-4}{x-2\sqrt{x}}+\dfrac{3}{\sqrt{x}-2}\\ \Rightarrow B=\dfrac{\sqrt{x}-4+3\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\\ \Rightarrow B=\dfrac{4\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

\(P=B:A=\dfrac{4\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\cdot\dfrac{\sqrt{x}\left(2-\sqrt{x}\right)}{4}=-\left(\sqrt{x}-1\right)=1-\sqrt{x}\) (đpcm)

\(x^2+4x+7\)

\(=x^2+2x+2x+4+3\)

\(=x.\left(x+2\right)+2.\left(x+2\right)+3\)

\(=\left(x+2\right).\left(x+2\right)+3\)

\(=\left(x+2\right)^2+3\ge3\)

Vậy đa thức vô nghiệm.

\(x^2+4x+7\)

\(=x^2+2x+2x+4+3\)

\(=x.\left(x+2\right)+2.\left(x+2\right)+3\)

\(=\left(x+2\right).\left(x+2\right)+3\)

\(=\left(x+2\right)^2+3\ge3\)