a: Ta có: \(AM=MB=\frac{AB}{2}\)

\(DN=NC=\frac{DC}{2}\)

\(AD=BC=\frac{AB}{2}\)

mà AB=DC

nên AM=MB=DN=NC=AD=BC

Xét tứ giác AMND có

AM//ND

AM=ND

Do đó: AMND là hình bình hành

Hình bình hành AMND có AM=AD
nên AMND là hình thoi

b: Xét tứ giác MBND có

MB//ND

MB=ND

Do đó: MBND là hình bình hành

c: ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường(1)

MBND là hình bình hành

=>MN cắt BD tại trung điểm của mỗi đường(2)

Từ (1),(2) suy ra AC,BD,MN đồng quy

Gọi O là giao điểm của AC và BD

ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

Ta có: BC=AC

BC=AD

Do đó: AC=AD

=>ΔACD cân tại A

mà AI là đường trung tuyến

nên AI⊥CD

Xét ΔMID vuông tại I và ΔMIC vuông tại I có

MI chung

ID=IC

Do đó: ΔMID=ΔMIC

=>MD=MC

Xét ΔADC có

AI,DO là các đường trung tuyến

AI cắt DO tại M

Do đó: M là trọng tâm của ΔADC

=>CM cắt AD tại trung điểm K của AD

Xét ΔKCD và ΔKNA có

\(\hat{KDC}=\hat{KAN}\) (hai góc so le trong, DC//AN)

KD=KA

\(\hat{CKD}=\hat{NKA}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔKCD=ΔKNA

=>CD=NA

Xét tứ giác ANDC có

AN//DC

AN=DC

Do đó: ANDC là hình bình hành

=>\(\hat{NDC}+\hat{ACD}=180^0\)

mà \(\hat{ADC}+\hat{BCD}=180^0\)

và \(\hat{ACD}=\hat{ADC}\) (ΔACD cân tại A)

nên \(\hat{NDC}=\hat{BCD}\)

Xét tứ giác NBCD có

NB//CD
\(\hat{NDC}=\hat{BCD}\)

Do đó: NBCD là hình thang cân

=>NC=BD

MN // QP (cùng song song với BC)

MN = QP ( =1/2 BC)

⇒ MNPQ là hình bình hành.

Gọi O là giao điểm của AC và BD

ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

Xét ΔABC có BO là đường trung tuyến

nên \(BO^2=\frac{BA^2+BC^2}{2}-\frac{AC^2}{4}\)

=>\(\frac{BD^2}{4}+\frac{AC^2}{4}=\frac{BA^2+BC^2}{2}=\frac{2\left(BA^2+BC^2\right)}{4}\)

=>\(BD^2+AC^2=2\left(BA^2+BC^2\right)\)

=>\(BD^2+AC^2=BA^2+BC^2+BA^2+BC^2\)

=>\(BD^2+AC^2=BA^2+BC^2+AC^2+AD^2\) (ĐPCM)

a) Ta có: \(AB=DC,AB//CD\)(ABCD là hình bình hành)

Mà \(K,E\in AB,CD;AK=\dfrac{1}{2}AB;CE=\dfrac{1}{2}CD\)

\(\Rightarrow AK=CE\) và \(AK//CE\)

=> AECK là hình bình hành

b) Ta có: O là giao điểm 2 đường chéo AC và BD

=> O là trung điểm AC

=> O là trung điểm KE(AECK là hình bình hành)

=> E,O,K thẳng hàng

bạn hỏi thế này thì chả ai muốn làm -_- dài quá 

Bạn gửi từng câu nhò thì các bạn khác dễ làm hơn!

a: AB//CD
=>\(\widehat{DAB}+\widehat{ADC}=180^0\)

mà \(\widehat{DAB}-\widehat{ADC}=60^0\)

nên \(\widehat{ADC}=\dfrac{180^0-60^0}{2}=60^0\)

b: Xét ΔOAB và ΔOCD có

\(\widehat{OAB}=\widehat{OCD}\)

\(\widehat{AOB}=\widehat{COD}\)

Do đó: ΔOAB đồng dạng với ΔOCD

=>\(\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OB}{OD}\)

=>OC=OD

OA+OC=AC

OB+OD=BD

mà OA=OB và OC=OD

nên AC=BD

=>ABCD chỉ là hình thang cân thôi chứ không là hình bình hành nha bạn

a: Xét tứ giác AECF có 

AE//CF

AE=CF

Do đó: AECF là hình bình hành

b: Ta có: AE+BE=AB

FC+FD=CD

mà AB=CD

và AE=CF

nên BE=FD

\(a,\left\{{}\begin{matrix}AE=FC\\AE//FC\left(AB//CD\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow AECF\) là hbh

\(b,AE=CF\left(gt\right);AB=CD\left(hbh.ABCD\right)\\ \Rightarrow AB-AE=CD-CF\\ \Rightarrow BE=FD\)

\(c,\left\{{}\begin{matrix}BE=FD\left(cm.trên\right)\\BE//FD\left(AB//CD\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow DEBF\) là hbh

\(d,\) Gọi M là giao AC và BD

Mà ABCD là hbh nên M là trung điểm AC,BD

Mà DEBF là hbh, M là trung điểm BD nên cũng là trung điểm EF

Do đó AC,BD,EF đồng quy tại M