C

\(\dfrac{5-x}{-25-y}=\dfrac{x}{y}\)

\(\Rightarrow y\left(5-x\right)=x\left(-25-y\right)\)

\(\Leftrightarrow5y-xy=-25x-xy\)

\(\Rightarrow5y=-25x\)

\(\Rightarrow\dfrac{y}{-25}=\dfrac{x}{5}\Rightarrow\dfrac{y}{x}=-\dfrac{25}{5}=-5\)

Vậy..........................

\(\dfrac{y+z+t-2020x}{x}=\dfrac{z+t+x-2020y}{y}=\dfrac{t+x+y-2020z}{z}=\dfrac{x+y+z-2020t}{t}=\dfrac{-2017\left(x+y+z+t\right)}{x+y+z+t}=-2017\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y+z+t-2020x=-2017x\\z+t+x-2020y=-2017y\\t+x+y-2020z=-2017z\\x+y+z-2020t=-2017t\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+z+t=2x\\x+y+z+t=2y\\x+y+z+t=2z\\x+y+z+t=2t\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow x=y=z=t=\dfrac{x+y+z+t}{2}=1010\\ \Leftrightarrow A=1010\left(2019-2020+2021-2022\right)=1010\left(-2\right)=-2020\)

Đặt \(x=2k;y=5k;z=7k\)

\(P=\dfrac{2k-5k+7k}{2k+10k-7k}=\dfrac{4k}{5k}=\dfrac{4}{5}\)

a. Tính giá trị biểu thức $A = \frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{xyz}$:

Từ giả thiết: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0$

Quy đồng mẫu thức:

$\Rightarrow \frac{yz + xz + xy}{xyz} = 0$

$\Rightarrow xy + yz + zx = 0$

Khai triển tử thức của $A$:

$(x + y)(y + z)(z + x) = (x + y + z)(xy + yz + zx) - xyz$

Thay $xy + yz + zx = 0$ vào biểu thức trên:

$(x + y)(y + z)(z + x) = (x + y + z) \cdot 0 - xyz = -xyz$

Do đó: $A = \frac{-xyz}{xyz} = -1$

Vậy $A = -1$.

b. Chứng minh $A = \frac{1}{(a-b)^2} + \frac{1}{(b-c)^2} + \frac{1}{(c-a)^2}$ là bình phương của một số hữu tỉ:

Đặt $x = a - b$, $y = b - c$, $z = c - a$.

Ta có: $x + y + z = (a - b) + (b - c) + (c - a) = 0$.

Xét đẳng thức:

$\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\right)^2 = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} + 2\left(\frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{zx}\right)$

Biến đổi phần trong ngoặc kép:

$\frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{zx} = \frac{z + x + y}{xyz}$

Vì $x + y + z = 0$ nên $\frac{z + x + y}{xyz} = 0$.

Suy ra:

$\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\right)^2 = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2}$

Thay lại $x = a - b$, $y = b - c$, $z = c - a$:

$A = \frac{1}{(a-b)^2} + \frac{1}{(b-c)^2} + \frac{1}{(c-a)^2} = \left(\frac{1}{a-b} + \frac{1}{b-c} + \frac{1}{c-a}\right)^2$

Vì $a, b, c$ là các số hữu tỉ khác nhau từng đôi một nên $\frac{1}{a-b} + \frac{1}{b-c} + \frac{1}{c-a}$ là một số hữu tỉ.

Vậy $A$ là bình phương của một số hữu tỉ (điều phải chứng minh).

\(\dfrac{x+2y}{4x-3y}=-2\)

=>x+2y=-8x+6y

=>9x=4y

hay x/y=4/9

Ta có: \(x+y=z\Rightarrow x=z-y\)

\(A=\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}}=\sqrt{\dfrac{x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2}{x^2y^2z^2}}\)

\(=\sqrt{\dfrac{\left(z-y\right)^2y^2+y^2z^2+\left(z-y\right)^2z^2}{x^2y^2z^2}}\)

\(=\sqrt{\dfrac{y^4+y^2z^2-2y^3z+y^2z^2+z^4+y^2z^2-2yz^3}{x^2y^2z^2}}\)

\(=\sqrt{\dfrac{\left(y^4+2y^2z^2+z^4\right)-2yz\left(y^2+z^2\right)+y^2z^2}{x^2y^2z^2}}\)

\(=\sqrt{\dfrac{\left(y^2+z^2\right)^2-2yz\left(y^2+z^2\right)+y^2z^2}{x^2y^2z^2}}\)

\(=\sqrt{\dfrac{\left(y^2+z^2-yz\right)^2}{x^2y^2z^2}}=\left|\dfrac{y^2+z^2-yz}{xyz}\right|\)

Là một số hữu tỉ do x,y,z là số hữu tỉ

\(A=\dfrac{2x}{x\left(x+y\right)}+\dfrac{6x}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}-\dfrac{3}{x-y}\)

\(=\dfrac{2\left(x-y\right)}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}+\dfrac{6x}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}-\dfrac{3\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)\left(x-y\right)}\)

\(=\dfrac{2x-2y+6x-3x-3y}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}=\dfrac{5\left(x-y\right)}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}\)

\(=\dfrac{5}{x+y}\)

Bạn tham khảo tại đây:

https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-xyz-khac-0-thoa-man-2-xy-3yz4zx-tinh-p-dfracxydfracyzdfraczx.3861996653762