b) ab+ba

Ta có:ab=10a+b

          ba=10b+a

 ab+ba=10a+b+10b+a

           =  11a  + 11b

Ta thấy: 11a⋮11   ;   11b⋮11

=>ab+ba⋮11 (ĐPCM)

a: Đặt \(A=n^5-n\)

Vì 5 là số nguyên tố nên theo định lí Fermat nhỏ, ta có: \(n^5-n\) ⋮5(1)

\(A=n^5-n\)

\(=n\left(n^4-1\right)\)

\(=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)

\(=\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)

Vì n-1;n;n+1 là ba số nguyên liên tiếp

nên (n-1)n(n+1)⋮3!=6

=>A⋮6

mà A⋮5

và ƯCLN(5;6)=1

nên A⋮6*5

=>A⋮30

b:

n là số lẻ

=>n=2k+1

Đặt \(B=n^4-10n^2+9\)

\(=n^4-n^2-9n^2+9\)

\(=n^2\left(n^2-1\right)-9\left(n^2-1\right)\)

\(=\left(n^2-1\right)\left(n^2-9\right)\)

=(n-1)(n+1)(n-3)(n+3)

=(2k+1-1)(2k+1+1)(2k+1-3)(2k+1+3)

=2k(2k+2)(2k-2)(2k+4)

=16k(k+1)(k+2)(k-1)

Vì k-1;k;k+1;k+2 là bốn số nguyên liên tiếp

nên k(k-1)(k+1)(k+2)⋮4!

=>k(k-1)(k+1)(k+2)⋮24

=>16k(k-1)(k+1)(k+2)⋮16*24

=>B⋮384

a, 10615 + 8 không chia hết cho 2 vì 8 ⋮ 2  nhưng 10615 không chia hết cho 2

10615 + 8 không chia hết cho 9 vì 1 + 6 + 1 + 5 + 8 = 21 không chia hết cho 9

c,    B = 10²⁰¹⁰ -  4                                                                                   

       10 \(\equiv\) 1 (mod 3)

      10²⁰¹⁰ \(\equiv\) 1²⁰¹⁰ (mod 3)

      4          \(\equiv\) 1(mod 3)

⇒ 10²⁰¹⁰ - 4   \(\equiv\) 1²⁰¹⁰ - 1 (mod 3)

⇒ 10²⁰¹⁰ - 4   \(\equiv\)  0 (mod 3)

⇒ 10²⁰¹⁰ - 4 \(⋮\) 3

Nếu n = 2k (k thuộc N)=> 3n+2016 = 3.2k+2016 = 6k+2016 chia hết cho 2 => (3n+2015)(3n+2016) chia hết cho 2 hay A chia hết cho 2

Nếu n=2k+1(k thuộc N) => 3n+2015=3(2k+1)+2015=6k+2018 chia hết cho 2 => (3n+2015)(3n+2016) chia hết cho 2 hay A chia hết cho 2

Vậy...

với n thuộc N 

\(\Rightarrow\)( 3n + 2015 ) ( 3n + 2016 ) là 2 số liên tiếp

\(\Rightarrow\)(3n + 2016 ) ( 3n + 2016 ) chia hết cho 2

(giả sử ( 3n + 2015 ) là chẵn thì ( 3n + 2016 ) là lẻ

A = 8.n + 111......11111 
= ( 8 + 111...11111 ) . n 
= 9999.......9 . n chia hết cho 9 ( dấu hiệu nhận biết ) 
=> ĐPCM

Tổng các chữ số của số 111...1 (n chữ số 1) là:1+1+1+...+1=1.n

=>tổn các chữ số của A là:

8.n+1.n =n.(8+1)=9n

Vì 9n chia hết cho 3

=>Tổng các chữ số của số A chia hết cho 3

=>A chia hết cho 3 (ĐPCM)

b) A=2+2²+2³+...+2²⁰

A=(2+2²)+(2³+2⁴)+...+(2¹⁹+2²⁰)

A=3.2+3.2³+...+3.2¹⁹

A=3.(2+2³+2⁵+...+2¹⁹)

⇒A⋮3

phần c) làm tương tự

a: TH1: Ba số liên tiếp là 3a;3a+1;3a+2

Tích của ba số là 3a(3a+1)(3a+2)⋮3(1)

TH2: Ba số liên tiếp là 3a+1;3a+2;3a+3

=>Tích của ba số là (3a+1)(3a+2)(3a+3)=3(a+1)(3a+1)(3a+2)⋮3(2)

TH3: Ba số liên tiếp là 3a+2;3a+3;3a+4

=>Tích của ba số là (3a+2)(3a+3)(3a+4)=3(a+1)(3a+2)(3a+4)⋮3(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra tích của ba số liên tiếp luôn chia hết cho 3

b: TH1: Bốn số liên tiếp là 4a;4a+1;4a+2;4a+3

=>Tích của bốn số là 4a(4a+1)(4a+2)(4a+3)⋮4(1)

TH2: Bốn số liên tiếp là 4a+1;4a+2;4a+3;4a+4

=>Tích của bốn số là \(\left(4a+1\right)\left(4a+2\right)\left(4a+3\right)\left(4a+4\right)=4\left(a+1\right)\left(4a+1\right)\left(4a+2\right)\left(4a+3\right)\) ⋮4(2)

TH3: Bốn số liên tiếp là 4a+2;4a+3;4a+4;4a+5

=>Tích của bốn số là \(\left(4a+2\right)\left(4a+3\right)\left(4a+4\right)\left(4a+5\right)=4\left(a+1\right)\left(4a+2\right)\left(4a+3\right)\left(4a+3\right)\) ⋮4(3)

TH4: Bốn số liên tiếp là 4a+3;4a+4;4a+5;4a+6

=>Tích của bốn số là (4a+3)(4a+4)(4a+5)(4a+6)

=4(a+1)(4a+3)(4a+5)(4a+6)⋮4(4)

Từ (1),(2),(3),(4) suy ra tích của bốn số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 4