Ta có: n^5 - n = n (n^4 -1 )
=n (n^2-1)(n^2+1)
=n(n-1)(n+1)(n^2 - 4 +5)
=n(n-1)(n+1)(n^2-4) + n(n-1)(n+1)5
= (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+ n(n-1)(n+1)5
Vì (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) chia hết cho 30
và n(n-1)(n+1)5 chia hết cho 30
Nên (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+ n(n-1)(n+1)5 chia hết cho 30
hay n^5-n chia hết cho 30

lộn đề r nha OLM.VN

\(31n^3+11n\)

\(=25n^3+6n^3+5n+6n\)

\(=5n\left(5n^2+1\right)+6n\left(n^2+1\right)\)

Do \(5n^2⋮5\Rightarrow5n^2+1⋮6\)

Lại có \(6n\left(n^2+1\right)⋮6\)

\(\RightarrowĐPCM\)

Ta có : A = \(31n^3+11n\)\(=31n^3-n+12n\)\(=n.31\left(n^2-1\right)+12n\)\(=31.n\left(n-1\right).\left(n+1\right)+12n\)

Vì (n-1).n.(n+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp 

nên (n-1).n.(n+1) chia hết cho 6

=> (n-1).n.(n+1).31 chia hết cho 6

Và 12n chia hết cho 6             

 =>31 (n-1).n.(n+1) + 12n  chia hết cho 6

vậy A chia hết cho 6

Đặt \(A=n^5-n\)

Vì 5 là số nguyên tố nên theo định lí Fermat nhỏ, ta có: \(n^5-n\) ⋮5(1)

\(A=n^5-n\)

\(=n\left(n^4-1\right)\)

\(=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)

\(=\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)

Vì n-1;n;n+1 là ba số nguyên liên tiếp

nên (n-1)n(n+1)⋮3!=6

=>A⋮6

mà A⋮5

và ƯCLN(5;6)=1

nên A⋮6*5

=>A⋮30

Lời giải:
$n^5-n=n(n^4-1)=n(n^2-1)(n^2+1)=n(n-1)(n+1)(n^2+1)$
Vì $n(n-1)(n+1)$ là tích 3 số nguyên liên tiếp nên $n(n-1)(n+1)\vdots 3$
Vì $n(n-1)$ là tích 2 số nguyên liên tiếp nên $n(n-1)\vdots 2$

$\Rightarrow n^5-n\vdots 2,3$
Mà $(2,3)=1$ nên $n^5-n\vdots 6(*)$

Mặt khác:
Ta biết rằng 1 scp chia 5 có thể có dư là $0,1,4$
$\Rightarrow n(n^2-1)(n^2+1)\vdots 5, \forall n$ nguyên $(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow n^5-n\vdots (5.6=30)$