$4x^2+9y^2+16z^2-4x-6y-8z+3=0$

$\Leftrightarrow(2x-1)^2+(3y-1)^2+(4z-1)^2=0$

Vì $(2x-1)^2\ge0,\quad(3y-1)^2\ge0,\quad(4z-1)^2\ge0$ nên $(2x-1)^2=(3y-1)^2=(4z-1)^2=0$

$\Leftrightarrow x=\dfrac12,\quad y=\dfrac13,\quad z=\dfrac14.$

Do đó $xy+yz+zx$

$=\dfrac12\cdot\dfrac13+\dfrac13\cdot\dfrac14+\dfrac14\cdot\dfrac12$

$=\dfrac16+\dfrac1{12}+\dfrac18$

$=\dfrac4{24}+\dfrac2{24}+\dfrac3{24}$

$=\dfrac38.$

\(4x^2-4x+1+9y^2-6y+1+16z^2-8z+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-1\right)^2+\left(3y-1\right)^2+\left(4z-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x-1=0\\3y-1=0\\4z-1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{2}\\y=\frac{1}{3}\\x=\frac{1}{4}\end{cases}}\)

vay ................................................

Ta có : 

4x² + 9y² + 16z² - 4x - 6y - 8z + 3 = 0

( 2x ) ²  + ( 3y)² + ( 4z)² - 4x - 6y - 8z + 3 = 0

\([\left(2x\right)^2-2.2x+1]+[\left(3y\right)^2-2.3y+1]+[\left(4z\right)^2-2.4z+1]=0\)=0

( 2x-1)²  + ( 3y -1 )² + ( 4z - 1) ² = 0

Mà ( 2x-1)² \(\ge\)0 với mọi x

     ( 3y-1 )² \(\ge0\)với mọi y

      ( 4z - 1) ^{2 \(\ge0\)với mọi z} 

 nên \(\hept{\begin{cases}2x-1=0\\3y-1=0\\4z-1=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{2}\\y=\frac{1}{3}\\z=\frac{1}{4}\end{cases}}}\)

 Vậy x = 1/2 ; y = 1/3 ; z = 1/4 

\(4x^2-4x+9y^2-6y+16z^2-8z+3=0\) 

\(\left(4x^2-4x+1\right)+\left(9y^2-6y+1\right)+\left(16z^2-8y+1\right)=0\) 

\(\left(2x-1\right)^2+\left(3y-1\right)^2+\left(4z-1\right)^2=0\) 

\(=>\hept{\begin{cases}\left(2x-1\right)^2=0\\\left(3y-1\right)^2=0\\\left(4z-1\right)^2=0\end{cases}=>\hept{\begin{cases}2x-1=0\\3y-1=0\\4z-1=0\end{cases}=>\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{2}\\y=\frac{1}{3}\\z=\frac{1}{4}\end{cases}}}}\)

Vậy...

Giải:

Nhân từng vế ba đẳng thức ta được : \((xyz)^2=36xyz\)

Nếu một trong các số x,y,z bằng 0 thì hai số còn lại cũng bằng 0

Nếu cả ba số x,y,z \(\ne\)0 thì chia hai vế cho xyz được xyz = 36.Từ xyz = 36 và xy = z ta được z² = 36 nên z = \(\pm6\). Từ xyz = 36 và yz = 4x ta được 4x² = 36 nên x = \(\pm3\). Từ xyz = 36 và zx = 9y , ta được 9y² = 36 nên y = \(\pm2\)

Nếu z = 6 thì x và y cùng dấu nên x = 3 , y = 2 , hoặc x = -3 , y = -2.Nếu z = -6 thì a và b trái dấu nên x = 3 , y = -2 hoặc x = -3 , y = 2

Tóm lại,có 5 bộ số \((x;y;z)\)thỏa mãn bài toán là :

\((0;0;0),(3;2;6),(-3;-2;6),(3;-2;-6),(-3;2;-6)\)

 xy =z; yz = 4x; zx =9y

=> xy.yz.zx = z.4x.9y

  (xyz)² = 36xyz

=> xyz =36

 ( đến đây mik lm tắt nhé)

=> x= \(\pm\)3

    y = \(\pm\)2

   z = \(\pm\)6

Đặt $a=2x,\quad b=3y,\quad c=4z.$

Khi đó $a^2+b^2+c^2=1.$

Ta có $A=\dfrac{a}{1-a^2}+\dfrac{b}{1-b^2}+\dfrac{c}{1-c^2}.$

Xét hàm số $f(t)=\dfrac{t}{1-t^2}\quad(0<t<1).$

Ta có $f''(t)=\dfrac{2t(3+t^2)}{(1-t^2)^3}>0.$

Do đó $f(t)$ là hàm lồi trên $(0;1)$.

Theo bất đẳng thức Jensen:

$A\ge3f\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right).$

Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy:

$(a+b+c)^2\le3(a^2+b^2+c^2)=3$

$\Rightarrow\dfrac{a+b+c}{3}\le\dfrac1{\sqrt3}.$

Vì $f(t)$ đồng biến trên $(0;1)$ nên

$A\ge3f\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)$

$\ge3f\left(\dfrac1{\sqrt3}\right)$

$=3\cdot\dfrac{\frac1{\sqrt3}}{1-\frac13}$

$=3\cdot\dfrac{\frac1{\sqrt3}}{\frac23}$

$=\dfrac{3\sqrt3}{2}.$

$a=b=c=\dfrac1{\sqrt3}.$

Dấu '=' xảy ra khi:

\Leftrightarrow x=\dfrac1{2\sqrt3},\quady=\dfrac1{3\sqrt3},\quadz=\dfrac1{4\sqrt3}.

$A_{\min}=\dfrac{3\sqrt3}{2}.$

Ta có $xy+yz+zx=xyz$

$\Leftrightarrow\dfrac1x+\dfrac1y+\dfrac1z=1.$

Đặt $a=\dfrac1x,\quad b=\dfrac1y,\quad c=\dfrac1z.$

Khi đó $a+b+c=1.$

Ta có $H=\dfrac{c}{1+9a^2}+\dfrac{a}{1+9b^2}+\dfrac{b}{1+9c^2}.$

Với $t>0$, ta có $\dfrac1{1+9t^2}\ge1-\dfrac32t$ vì $\dfrac1{1+9t^2}-\left(1-\dfrac32t\right)$

$=\dfrac{\frac32t(3t-1)^2}{1+9t^2}\ge0.$

Do đó $H\ge c\left(1-\dfrac32a\right)+a\left(1-\dfrac32b\right)+b\left(1-\dfrac32c\right)$

$=a+b+c-\dfrac32(ab+bc+ca)$

$=1-\dfrac32(ab+bc+ca).$

Mặt khác, $(a+b+c)^2\ge3(ab+bc+ca)$

$\Rightarrow ab+bc+ca\le\dfrac13.$

Suy ra $H\ge1-\dfrac32\cdot\dfrac13$$=\dfrac12.$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\dfrac13$

$\Leftrightarrow x=y=z=3.$

Vậy $H_{\min}=\dfrac12.$

Ta chứng minh BĐT sau:

Ta có: \(x\left(3-4x^2\right)=-4x^3+3x-1+1=1-\left(x+1\right)\left(2x-1\right)^2\le1\)

\(\Rightarrow\dfrac{4x^2}{x\left(3-4x^2\right)}\ge\dfrac{4x^2}{1}=4x^2\)

Tương tự và cộng lại:

\(Q\ge4\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge4\left(xy+yz+zx\right)=3\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{2}\)