a)

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+x+5< 0\\x^2-6x+1>0\end{matrix}\right.\)

\(\)Ta có

\(x^2+x+5=\left(x^2+x+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{19}{4}=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{19}{4}\ge\dfrac{19}{4}>0\)

=> Bất phương trình đàu tiên sai, hệ bất phương trình sai

b)

\(\left\{{}\begin{matrix}2x^2+x-6>0\\3x^2-10x+3\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(2x-3\right)\left(x+2\right)>0\\\left(x-3\right)\left(3x-1\right)\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x>2\\x< -3\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}x\le-\dfrac{1}{3}\\x\ge3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

bạn ơi giải giúp mình câu c, e, f giùm mình với ạ .

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2-1}{x}\ge0\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x}\ge0\)

Trường hợp 1:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)\left(x+1\right)\ge0\\x>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x\ge1\\x\le-1\end{matrix}\right.\\x>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\ge1\)

Trường hợp 2:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)\left(x+1\right)\le0\\x< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1\le x\le1\\x< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow-1\le x< 0\)

Vậy hệ có nghiệm \(S=[1;+\infty)\cup [-1;0)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+m-3\ge0\\2x\ge8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+m-3\ge4+m-3\ge0\\x\ge4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ge-1\\x\ge4\end{matrix}\right.\)

\(x^2-2x< 0\Leftrightarrow0< x< 2\) \(\Rightarrow D_1=\left(0;2\right)\)

Xét \(f\left(x\right)=x^2+2\left(m-1\right)x+m^2\ge0\) (1)

\(\Delta'=\left(m-1\right)^2-m^2=1-2m\)

- Với \(\Delta'\le0\Leftrightarrow m\ge\dfrac{1}{2}\) thì (1) luôn đúng \(\Leftrightarrow\) hệ có nghiệm

- Với \(m< \dfrac{1}{2}\) \(\Rightarrow\) gọi 2 nghiệm của (1) là \(x_1< x_2\) \(\Rightarrow D_2=(-\infty;x_1]\cup[x_2;+\infty)\)

Để hệ vô nghiệm \(\Leftrightarrow D_1\cap D_2=\varnothing\) \(\Leftrightarrow x_1\le0< 2\le x_2\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(0\right)\le0\\f\left(2\right)\le0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2\le0\\4+4\left(m-1\right)+m^2\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=0\\m^2+4m\le0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow m=0\)

\(\Rightarrow\) Hệ có nghiệm khi \(m\ne0\)

Vậy 

\(x^2-3x-4\le0\)

=>(x-4)(x+1)<=0

=>-1<=x<=4

\(x^2 - 3\vert{}x\vert{}x - m^2 + 6m \ge 0\) (2)

TH1: x>=0

(2) sẽ trở thành: \(x^2-3\cdot x\cdot{}x-m^2+6m\ge0\)

=>\(-2x^2-m^2+6m\ge0\)

=>\(2x^2\le6m-m^2\)

Để bất phương trình này có nghiệm x>=0 thuộc đoạn [-1; 4] thì vế phải phải lớn hơn hoặc bằng 0

=>\(6m-m^2\ge0\)

=>\(m\left(m-6\right)\le0\)

=>0<=m<=6

=>\(0 \le x \le \sqrt{\frac{6m - m^2}{2}}\)

Để hệ có nghiệm trong trường hợp này, giao của \(S_1=\left\lbrack-1;4\right\rbrack\) và tập nghiệm của bất phương trình thứ hai phải khác rỗng,

=>Cần tồn tại ít nhất một nghiệm \(x \in [0; 4]\) thỏa mãn\(2x^2\le6m-m^2\)

mà điều này luôn đúng khi \(6m - m^2 \ge 0\) (vì khi đó x = 0 luôn thỏa mãn).

Do đó, điều kiện từ trường hợp này là: 0<=m<=6

TH2: x<0

(2) sẽ trở thành: \(x^2-3\cdot\left(-x\right)\cdot{}x-m^2+6m\ge0\)

=>\(4x^2\ge m^2-6m\)

\(4x^2\ge0\forall x\)

=>Nếu \(m^2-6m\le0\) thì bất phương trình luôn đúng với mọi x<0

=>m(m-6)<=0

=>0<=m<=6

Lời giải:

Nếu $x=-2$ thì HBPT $\Leftrightarrow $m\geq -2$

Nếu $x\neq -2$ thì HBPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+1\geq 0\\ x\leq m\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} x\geq -1\\ x\leq m\end{matrix}\right.\Leftrightarrow -1\leq x\leq m(*)\).

Giả sử $m>-1$ thì HBPT có vô số nghiệm thực $x$

Giả sử $m< -1$ thì $(*)$ vô lý nên HBPT chỉ có thể nhận nhiều nhất 1 nghiệm $x=-2$

Giả sử $m=-1$ thì $(*)$ có nghiệm $x=-1$. Tổng kết lại HBPT có 2 nghiệm $x=-1$ và $x=-2$

Vì 0<=y<=5

nên miền nghiệm của bất phương trình 0<=y<=5 là hình gồm hai đường thẳng y=0 và y=5 và tất cả các điểm nằm bên trong hai đường thẳng đấy(1)

Vì x>=0 nên Miền nghiệm của bất phương trình x>=0 là nửa bên phải có chứa biên của trục Oy(2)

Thay x=0 và y=0 vào x+y-2>=0, ta được:

0+0-2>=0

=>-2>=0(sai)

=>Miền nghiệm của bất phương trình x+y-2>=0 là nửa mặt phẳng có chứa biên và không chứa điểm O(0;0) của đường thẳng x+y-2=0(3)

Thay x=0 và y=0 vào x-y-2<=0, ta được:

0-0-2<=0

=>-2<=0(đúng)

=>Miền nghiệm của bất phương trình x-y-2<=0 là nửa mặt phẳng có chứa biên và và chứa điểm O(0;0) của đường thẳng x-y-2=0(4)

Từ (1),(2),(3),(4) ta có miền nghiệm của hệ là:

=>Miền nghiệm của hệ là tứ giác ABCD, với A là giao điểm của x+y=2 và x-y=2; B là giao điểm của x=0 và x+y=2; C là giao điểm của x=0 và y=5; D là giao điểm của x-y=2 và y=5

=>A(2;0); B(0;2); C(0;5); D(7;5)

Khi x=2 và y=0 thì F=x-2y=2-2*0=2

Khi x=0 và y=2 thì F=x-2y=0-2*2=-4

Khi x=0 và y=5 thì F=x-2y=0-2*5=-10

Khi x=7 và y=5 thì F=x-2y=7-2*5=7-10=-3

=>F min=-10 khi x=0 và y=5

Bài 1 \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-3x-4\le0\\\left(m-1\right)x\ge2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1\le x\le4\\\left(m-1\right)x\ge2\end{matrix}\right.\)

Nếu m = 1, hệ vô nghiệm

Nếu m ≠ 1, hệ tương đương

\(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}-1\le m< 1\\x\le\dfrac{2}{m-1}\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}1< m\le4\\x\ge\dfrac{2}{m-1}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Hệ có nghiệm khi một trong hai hệ trong hệ ngoặc vuông có nghiệm ⇔ \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}-1\le m< 1\\\dfrac{2}{m-1}\ge-1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}1< m\le4\\\dfrac{2}{m-1}\le4\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}-1\le m< 1\\-2\le1-m\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}1< m\le4\\2\le4m-4\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-1\le m< 1\\\dfrac{3}{2}\le m\le4\end{matrix}\right.\)