3. Gọi tam giác đó là ABC với góc A vuông, các đường trung trực ứng với cạnh AB, AC lần lượt là MN,PQ; D là trung điểm cạnh huyền AC

Có : MN song song với AC và đi qua M là trung điểm của AB => N là trung điểm của BC(t/c đường trung bình) => N trùng với D

       PQ song song với AB và đi qua P là trung điểm của AC => Q là trung điểm của BC(t/c đường trung bình) => Q trùng với D

MN cắt PQ tại trung điểm D của BC

Mà đường trung bình của BC đi qua D

=> Giao điểm 3 đường trung trực là D trung điểm cạnh huyền BC

Đáp án B

Tam giác đều cạnh x có bán kính đường tròn ngoại tiếp là

Với mỗi tam giác đề bài cho, độ dài cạnh tam giác sau bẳng 1 2  độ dài cạnh tam giác trước.

Khi đó

Dễ thấy

 là tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Vậy tổng cần tính là

1: Xét ΔBAM và ΔBNM có

BA=BN

góc ABM=goc NBM

BM chung

Do đó: ΔBAM=ΔBNM

2: ΔBAM=ΔBNM

=>MA=MN

mà BA=BN

nên BM là trung trực của AN

=>I là trung điểm của AN

3: góc ABC+góc C=90 độ

góc NMC+góc C=90 độ

=>góc ABC=góc NMC

1,xét tgBAM và tgBNM có:

   BA=BN gt

ABM=NBM gt

Bm chung

vậy 2 tg bằng nhau (c-g-c)

2,xét tgBAI và tgBNI có

BA=BN

ABI=NBI

BI chung

vậy 2tg bằng nhau(c-g-c)

Vì tg BAI=tgBNI (cmt)

suy ra IA=IN (tương ứng)

nên I là trung điểm của AN

M là trung điểm của BC

=>\(x_{B}+x_{C}=2\cdot x_{M}=4;y_{B}+y_{C}=2\cdot y_{M}=2\cdot3=6\) (3)

N là trung điểm của AC

=>\(x_{A}+x_{C}=2\cdot x_{N}=2\cdot4=8;y_{A}+y_{C}=2\cdot y_{N}=2\cdot\left(-1\right)=-2\) (2)

P là trung điểm của AB

=>\(x_{A}+x_{B}=2\cdot x_{P}=2\cdot\left(-3\right)=-6;y_{A}+y_{B}=2\cdot y_{P}=2\cdot5=10\) (1)

Từ (1),(2),(3) ta có hệ phương trình:

\(\begin{cases}x_{B}+x_{C}=4\\ x_{A}+x_{C}=8\\ x_{A}+x_{B}=-6\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x_{B}+x_{C}-x_{A}-x_{C}=4-8=-4\\ x_{A}+x_{B}=-6\\ x_{A}+x_{C}=8\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x_{B}-x_{A}=-4\\ x_{B}+x_{A}=-6\\ x_{A}+x_{C}=8\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x_{B}=\frac{\left(-4\right)+\left(-6\right)}{2}=-\frac{10}{2}=-5\\ x_{A}=-6-x_{B}=-6-\left(-5\right)=-6+5=-1\\ x_{C}=8-x_{A}=8-\left(-1\right)=9\end{cases}\)

Từ (1),(2),(3) ta có hệ phương trình:

\(\begin{cases}y_{B}+y_{C}=6\\ y_{A}+y_{C}=-2\\ y_{A}+y_{B}=10\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y_{B}+y_{C}-y_{A}-y_{C}=6-\left(-2\right)\\ y_{A}+y_{B}=10\\ y_{A}+y_{C}=-2\end{cases}\)

=>\(\)\(\begin{cases}y_{B}-y_{A}=8\\ y_{B}+y_{A}=10\\ y_{A}+y_{C}=-2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y_{B}=\frac{8+10}{2}=\frac{18}{2}=9\\ y_{A}=10-y_{B}=10-9=1\\ y_{C}=-2-1=-3\end{cases}\)

Vậy: A(-1;1); B(-5;9); C(9;-3)

B(-5;9); C(9;-3)

=>\(\overrightarrow{BC}=\left(9+5;-3-9\right)=\left(14;-12\right)=\left(7;-6\right)\)

=>Vecto pháp tuyến là (6;7)

Phương trình đường thẳng BC là:

6(x+5)+7(y-9)=0

=>6x+30+7y-63=0

=>6x+7y-33=0

Vì \(\overrightarrow{BC}=\left(7;-6\right)\)

nên phương trình đường trung trực của BC sẽ đi qua trung điểm M(2;3) và nhận \(\overrightarrow{BC}=\left(7;-6\right)\) làm vecto pháp tuyến

phương trình đường trung trực của BC là:

7(x-2)+(-6)(y-3)=0

=>7x-14-6y+18=0

=>7x-6y+4=0

A(-1;1); C(9;-3)

=>\(\overrightarrow{AC}=\left(9+1;-3-1\right)=\left(10;-4\right)\)

=>Vecto pháp tuyến là (4;10)=(2;5)

Phương trình đường thẳng AC là:

2(x+1)+5(y-1)=0

=>2x+2+5y-5=0

=>2x+5y-3=0

Vì \(\overrightarrow{AC}=\left(10;-4\right)=\left(5;-2\right)\)

nên phương trình đường trung trực của AC sẽ đi qua trung điểm N(4;-1) và nhận \(\overrightarrow{AC}=\left(5;-2\right)\) làm vecto pháp tuyến

phương trình đường trung trực của AC là:

5(x-4)+(-2)(y+1)=0

=>5x-20-2y-2=0

=>5x-2y-22=0

A(-1;1); B(-5;9)

\(\overrightarrow{AB}=\left(-5+1;9-1\right)=\left(-4;8\right)=\left(-1;2\right)\)

=>Vecto pháp tuyến là (2;1)

=>Phương trình đường thẳng AB sẽ đi qua B(-5;9) và nhận \(\overrightarrow{u}=\left(2;1\right)\) làm vecto pháp tuyến

Phương trình đường thẳng AB là:

2(x+5)+1(y-9)=0

=>2x+10+y-9=0

=>2x+y+1=0

Vì \(\overrightarrow{AB}=\left(-1;2\right)\)

nên phương trình đường trung trực của AB sẽ đi qua trung điểm P(-3;5) và nhận \(\overrightarrow{AB}=\left(-1;2\right)\) làm vecto pháp tuyến

Phương trình đường trung trực của AB là:

-1(x+3)+2(y-5)=0

=>-x-3+2y-10=0

=>-x+2y-13=0

M là trung điểm của BC

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_B+x_C=2\cdot x_M=2\cdot2=4\\y_B+y_C=2\cdot y_M=2\cdot3=6\end{matrix}\right.\)(1)

N là trung điểm của AC

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_C=2\cdot x_N=2\cdot4=8\\y_A+y_C=2\cdot y_N=2\cdot\left(-1\right)=-2\end{matrix}\right.\left(2\right)\)

P là trung điểm của AB

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B=2\cdot x_P=2\cdot\left(-3\right)=-6\\y_A+y_B=2\cdot y_P=2\cdot5=10\end{matrix}\right.\)(3)

Từ (1),(2),(3) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_B+x_C=4\\x_A+x_C=8\\x_A+x_B=-6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_B=4-x_C\\x_A=8-x_C\\4-x_C+8-x_C=-6\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}12-2x_C=-6\\x_B=4-x_C\\x_A=8-x_C\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_C=9\\x_B=4-9=-5\\x_A=8-9=-1\end{matrix}\right.\)

Từ (1),(2),(3) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}y_B+y_C=6\\y_A+y_C=-2\\y_A+y_B=10\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_B=6-y_C\\y_A=-2-y_C\\6-y_C-2-y_C=10\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}4-2\cdot y_C=10\\y_B=6-y_C\\y_A=-2-y_C\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_C=-3\\y_B=6+3=9\\y_A=-2+3=1\end{matrix}\right.\)

Vậy: C(9;-3); B(-5;9); A(-1;1)

Gọi (d1): ax+by+c=0 là phương trình đường thẳng AB

A(-1;1); B(-5;9)

\(\overrightarrow{AB}=\left(-4;8\right)=\left(-1;2\right)\)

=>VTPT là (2;1)

Phương trình AB là:

2[x-(-1)]+1(y-1)=0

=>2(x+1)+1(y-1)=0

=>2x+2+y-1=0

=>2x+y+1=0

Gọi (d2): ax+by+c=0 là phương trình đường thẳng AC

A(-1;1); C(9;-3)

\(\overrightarrow{AC}=\left(10;-4\right)=\left(5;-2\right)\)

=>VTPT là (2;5)

Phương trình AC là:

2(x+1)+5(y-1)=0

=>2x+2+5y-5=0

=>2x+5y-3=0

Gọi (d3): ax+by+c=0 là phương trình đường thẳng BC

B(-5;9); C(9;-3)

\(\overrightarrow{BC}=\left(14;-12\right)=\left(7;-6\right)\)

=>VTPT là (6;7)

Phương trình đường thẳng CB là:

6(x+5)+7(y-9)=0

=>6x+30+7y-63=0

=>6x+7y-33=0

\(\overrightarrow{BC}=\left(7;-6\right)\)

=>VTPT là (6;7)

mà trung điểm của BC là M(2;3)

nên Phương trình đường trung trực của BC là:

\(6\left(x-2\right)+7\left(y-3\right)=0\)

=>6x-12+7y-21=0

=>6x+7y-33=0

C(9;-3); B(-5;9); A(-1;1)

\(\overrightarrow{AC}=\left(10;-4\right)=\left(5;-2\right)\)

=>VTPT là (2;5)

Phương trình đường trung trực của AC là:

\(2\left(x-4\right)+5\left(y+1\right)=0\)

=>2x-8+5y+5=0

=>2x+5y-3=0

\(\overrightarrow{AB}=\left(-4;8\right)=\left(-1;2\right)\)

=>VTPT là (2;1)

Phương trình trung trực của AB là:

\(2\left(x+3\right)+1\left(y-5\right)=0\)

=>2x+6+y-5=0

=>2x+y+1=0