6k+1 va 6k+5 

k= 4 vi 6-6= 0+5-1=4

Số 2012 không chia hết cho 3 (vì tổng các chữ số của nó = 5 không chia hêt cho 3).

=> 2012²⁰¹³ cũng không chia hết cho 3.

Xét 3 số: 2012²⁰¹³ - 1, 2012²⁰¹³ , 2012²⁰¹³ + 1. Đây là ba số tự nhiên liên tiếp lơn hơn 3. => Trong 3 số liên tiếp bao giờ cũng có 1 số chia hết cho 3.

Vì số ở giữa (số 2012²⁰¹³) không chia hết cho 3 nên hai số còn lại phải có 1 số chia hết cho 3

=> Hai số còn lại không thể cùng là số nguyên tố được

Số 2012 không chia hết cho 3 (vì tổng các chữ số của nó = 5 không chia hêt cho 3).

=> 2012²⁰¹³ cũng không chia hết cho 3.

Xét 3 số: 2012²⁰¹³ - 1, 2012²⁰¹³ , 2012²⁰¹³ + 1. Đây là ba số tự nhiên liên tiếp lơn hơn 3. => Trong 3 số liên tiếp bao giờ cũng có 1 số chia hết cho 3.

Vì số ở giữa (số 2012²⁰¹³) không chia hết cho 3 nên hai số còn lại phải có 1 số chia hết cho 3

=> Hai số còn lại không thể cùng là số nguyên tố .

=>ĐPCM

Lời giải:

$p>3$ và $p$ nguyên tố nên $p$ lẻ

$\Rightarrow p+1$ chẵn $\Rightarrow p+1\vdots 2(1)$

Mặt khác:

$p>3$ và $p$ nguyên tố nên $p$ không chia hết cho $3$

$\Rightarrow p=3k+1$ hoặc $p=3k+2$ với $k$ tự nhiên.

Nếu $p=3k+1$ thì $2p+1=2(3k+1)+1=3(2k+1)\vdots 3$. Mà $2p+1>3$ nên không thể là số nguyên tố (trái đề bài) 

$\Rightarrow p=3k+2$
Khi đó:

$p+1=3k+3\vdots 3(2)$
Từ $(1); (2)$, mà $(2,3)=1$ nên $p+1\vdots (2.3)$ hay $p+1\vdots 6$

Bài 1: 5 vì 2+3=5 và 7-2=5

Các số nguyên tố lớn hơn 3 khi chia cho 12 thì dư 11; 7; 5 hoặc 1; mà 5 + 7 = 1 + 11 = 12 chia hết cho 12 nên nếu chia 4 số dư này thành 2 nhóm là (5; 7) và (1; 11) thì với ba số bất kì đang có khi chia cho 12 sẽ có số dư thuộc 1 trong 2 nhóm trên. (nguyên lí Dirichlet)

đơn giản  là không biết 

p là số nguyên tố lớn hơn 5 nên p có dạng 3k+1 hoặc 3k+2.

+Nếu p = 3k+1 thì $$ chia hết cho 3 => 2p+1 không phải số nguyên tố => loại

+Vậy p có dạng 3k+2

Khi đó $$ chia hết cho 3.

Vậy 4p+1 là hợp số,

p là số nguyên tố lớn hơn 5 nên p có dạng 3k+1 hoặc 3k+2.

+Nếu p = 3k+1 thì chia hết cho 3 => 2p+1 không phải số nguyên tố => loại

+Vậy p có dạng 3k+2

Khi đó chia hết cho 3.

Vậy 4p+1 là hợp số, 

p là số nguyên tố lớn hơn 5 nên p có dạng 3k+1 hoặc 3k+2.

+Nếu p = 3k+1 thì \(2p+1=2\left(3k+1\right)+1=6k+3\) chia hết cho 3 => 2p+1 không phải số nguyên tố => loại

+Vậy p có dạng 3k+2

Khi đó \(4p+1=4\left(3k+2\right)+1=12k+9\) chia hết cho 3.

Vậy 4p+1 là hợp số,

p là số nguyên tố lớn hơn 5 nên p có dạng 3k+1 hoặc 3k+2.

+Nếu p = 3k+1 thì $2p+1=2\left(3k+1\right)+1=6k+3$2p+1=2(3k+1)+1=6k+3 chia hết cho 3 => 2p+1 không phải số nguyên tố => loại

+Vậy p có dạng 3k+2

Khi đó $4p+1=4\left(3k+2\right)+1=12k+9$4p+1=4(3k+2)+1=12k+9 chia hết cho 3.

Vậy 4p+1 là hợp số,