Đáp án là A

• Xét khai triển:

x + 1 2 n + 1 = C 2 n + 1 0 x 2 n + 1 + C 2 n + 1 1 x 2 n + ... + C 2 n + 1 2 n + 1 .

Cho x = 1 , ta được:  2 2 n + 1 = C 2 n + 1 0 + C 2 n + 1 1 + ... + C 2 n + 1 2 n + 1 . (1)

Cho x = − 1 , ta được: 0 = − C 2 n + 1 0 + C 2 n + 1 1 − ... + C 2 n + 1 2 n + 1 . (2)

Cộng (1) và (2) vế theo vế, ta được:

2 2 n + 1 = 2 C 2 n + 1 1 + C 2 n + 1 3 + ... + C 2 n + 1 2 n + 1 ⇔ 2 2 n + 1 = 2.1024 ⇔ n = 5

• Xét:  2 − 3 x 10 = ∑ 0 10 C 10 k 2 10 − k . − 3 x k = ∑ 0 10 − 3 k .2 10 − k . C 10 k . x k

Hệ số của x 7  là:  − 3 7 .2 3 . C 10 7 = − 2099520.

Ủa dấu thứ 2 là + hay trừ bạn? Là dấu trừ đúng ko?

Xét khai triển:

\(\left(-1+x\right)^{2n+1}=-C_{2021}^0+C_{2021}^1x-C_{2021}^2x^2+...+C_{2021}^{2021}x^{2021}\)

Đạo hàm 2 vế:

\(\left(2n+1\right)\left(-1+x\right)^{2n}=C_{2021}^1-2xC_{2021}^2+3x^2C_{2021}^3-...+\left(2n+1\right)x^{2n}C_{2021}^{2021}\)

Thay \(x=2\) ta được:

\(2n+1=C_{2021}^1-2.2C_{2021}^2+3.2^2C_{2021}^3-...+\left(2n+1\right)2^{2n}C_{2021}^{2021}\)

\(\Rightarrow2n+1=2005\)

\(\Rightarrow n=1002\)

Chọn B

Xét khai triển x + 1 2 n + 1 = C 2 n + 1 0 x 2 n + 1 + C 2 n + 1 1 x 2 n + ... + C 2 n + 1 2 n + 1 .

Cho x =1 , ta được 2 2 n + 1 = C 2 n + 1 0 + C 2 n + 1 1 + ... + C 2 n + 1 2 n + 1 .(1)

Cho x= -1, ta được 0 = − C 2 n + 1 0 + C 2 n + 1 1 − ... + C 2 n + 1 2 n + 1 . (2)

Cộng (1) và (2) vế theo vế, ta được :

2 2 n + 1 = 2 C 2 n + 1 1 + C 2 n + 1 3 + ... + C 2 n + 1 2 n + 1 ⇔ 2 2 n + 1 = 2.1024 =   2 11 ⇔ 2 n + 1 = 11 ⇔ n = 5 .

 Chọn đáp án A.

ĐKXĐ: n>=3

Ta có: \(4\cdot C_{n+1}^3+2\cdot C_{n}^2=A_{n}^3\)

=>\(4\cdot\frac{\left(n+1\right)!}{\left(n+1-3\right)!\cdot3!}+2\cdot\frac{n!}{\left(n-2\right)!\cdot2!}=\frac{n!}{\left(n-3\right)!}\)

=>\(4\cdot\frac{\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)}{6}+2\cdot\frac{n\left(n-1\right)}{2}=n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\)

=>\(\frac23n\left(n-1\right)\left(n+1\right)+n\left(n-1\right)-n\left(n-1\right)\left(n-2\right)=0\)

=>\(n\left(n-1\right)\left\lbrack\frac23\left(n+1\right)+1-\left(n-2\right)\right\rbrack=0\)

=>\(\frac23\left(n+1\right)+1-n+2=0\)

=>\(\frac23n+\frac23-n+3=0\)

=>\(\frac{11}{3}-\frac13n=0\)

=>n=11

=>Khai triển ban đầu sẽ là \(\left(x^2-\frac{2}{x}\right)^{11}\)

Số hạng tổng quát là:

\(C_{11}^{k}\cdot\left(x^2\right)^{11-k}\cdot\left(-\frac{2}{x}\right)^{k}=C_{11}^{k}\cdot x^{22-2k}\cdot\frac{\left(-2\right)^{k}}{x^{k}}=C_{11}^{k}\cdot\left(-2\right)^{k}\cdot x^{22-3k}\)

Số hạng chứa x^7 sẽ tương ứng với 22-3k=7

=>3k=15

=>k=5

=>Hệ số là \(C_{11}^5\cdot\left(-2\right)^5=-32\cdot\frac{11!}{6!\cdot5!}=-32\cdot462=-14784\)