Ta có MPNQ là hình bình hành vì

Do đó

hay 

Mặt khác 

Nên

Vì

Từ (1) và (2) ta có:

là đẳng thức cần chứng minh

a: Ta có: \(AK=KD=\frac{AD}{2}\)

\(BI=IC=\frac{BC}{2}\)

mà AD=BC

nên AK=KD=BI=IC

Xét tứ giác ABIK có

AK//BI

AK=BI

Do đó: ABIK là hình bình hành

b: ABIK là hình bình hành

=>AI cắt BK tại trung điểm của mỗi đường

=>M là trung điểm chung của AI và BK

Xét tứ giác DKIC có

DK//IC

DK=IC

Do đó: DKIC là hình bình hành

=>DI cắt KC tại trung điểm của mỗi đường

=>N là trung điểm chung của DI và KC

Xét ΔKBC có

M,N lần lượt là trung điểm của KB,KC

=>MN là đường trung bình của ΔKBC

=>MN//BC và MN=1/2BC

=>BC=2MN

c: Hình bình hành ABCD có AC=BD

nên ABCD là hình chữ nhật

=>\(S_{ABCD}=AB\cdot BC=3\cdot4=12\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

d: Xét ΔIAD có

DM,AN,IK là các đường trung tuyến

Do đó: DM,AN,IK đồng quy

MQ // AC (đường TB của tam giác EAC)
NP // CB (đường TB của tam giác DCB)
=> MQ // NP (vì A, C, B thẳng hàng)
=> MNPQ là hình thang

Gọi L là trung điểm DE.
Ta có LN // CE (1) (đường trung bình của tam giác DCE). 
Lại có: LM // DA (2) (đường TB tam giác EAD) 
Mà: AD // CE (3) (Vì góc DAC = góc ECB = 60 độ, và 2 góc này đồng vị)
Từ (1), (2) , (3) suy ra M; N; L thẳng hàng
=> MN // AD
Mà MQ // AB (c/m trên)
góc NMQ = góc DAC = 60 độ
Tương tự c/m được góc PQM = 60 độ
=> hình thang MNPQ có 2 góc kề 1 đáy bằng nhau nên là hinh thang cân

1: Xét ΔEAC có

M,Q lần lượt là trung điểm của EA,EC

=>MQ là đường trung bình của ΔEAC

=>MQ//AC

=>MQ//AB

Xét ΔDCB có

N,P lần lượt là trung điểm của DC,DB

=>NP là đường trung bình của ΔDCB

=>NP//BC

=>NP//AB

mà MQ//AB

nên MQ//NP

=>MNPQ là hình thang

Sử dụng đường trung bình, ta có: KN = 1/2 AB, NI = 1/2 CD , IM = 1/2 AB , MK = 1/2 CD

Mà AB = CD (gt)

\(\Rightarrow KN=NI=IM=MK\)

\(\Rightarrow KNIM\)là hình thoi

Do đó: MN là tia phân giác của \(\widehat{IMK}\)(tính chất hình thoi)

Chúc bạn học tốt.

Xét ΔABC có 

E là trung điểm của AB

N là trung điểm của AC

Do đó: EN là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: EN//BC và \(EN=\dfrac{BC}{2}\left(1\right)\)

Xét ΔBDC có

M là trung điểm của BD

F là trung điểm của CD

Do đó: MF là đường trung bình của ΔBDC

Suy ra: MF//BC và \(MF=\dfrac{BC}{2}\left(2\right)\)

Xét ΔABD có 

E là trung điểm của AB

M là trung điểm của BD

Do đó: EM là đường trung bình của ΔABD

Suy ra: \(EM=\dfrac{AD}{2}=\dfrac{BC}{2}\left(3\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra EN//MF và EN=MF

Từ (1) và (3) suy ra EN=EM

Xét tứ giác ENFM có

EN//MF

EN=MF

Do đó: ENFM là hình bình hành

mà EN=EM

nên ENFM là hình thoi

Ta có : Tứ giác MPNQ là hình bình hành

$\Rightarrow$ MN và PQ cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường

Ta có : Tứ giác EPFQ là hình bình hành

$\Rightarrow$ EF đi qua I

Vậy EF , MN và PQ đồng quy