a: ĐKXĐ: x∈R

Lấy x1,x2 sao cho x1<x2

=>x1-x2<0

\(\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}=\frac{\sqrt{x_1^2+2x_1+3}-\sqrt{x_2^2+2x_2+3}}{x_1-x_2}\)

\(=\frac{x_1^2+2x_1+3-x_2^2-2x_2-3}{\left(x_1-x_2\right)\left(\sqrt{x_1^2+2x_1+3}+\sqrt{x_2^2+2x_2+3}\right)}\)

\(=\frac{x_1^2-x_2^2+2x_1-2x_2}{\left(x_1-x_2\right)\left(\sqrt{x_1^2+2x_1+3}+\sqrt{x_2^2+2x_2+3}\right)}\)

\(=\frac{\left(x_1-x_2)\left(x_1+x_2\right)+2\left(x_1-2x_2\right)\right.}{\left(x_1-x_2\right)\left(\sqrt{x_1^2+2x_1+3}+\sqrt{x_2^2+2x_2+3}\right)}=\frac{x_1+x_2+2}{\sqrt{x_1^2+2x_1+3}+x_2^2+2x_2+3}\) >0

=>Hàm số đồng biến trên R

b: ĐKXĐ: \(x^2-3x+2\ge0\)

=>(x-1)(x-2)>=0

=>x>=2 hoặc x<=1

Lấy x1,x2 thuộc [2;+∞) sao cho 2<x1<x2

=>x1-2>0; x2-2>0

=>x1+x2-4>0

\(\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}=\frac{\sqrt{x_1^2-3x_1+2}-\sqrt{x_2^2-3x_2+2}}{x_1-x_2}\)

\(=\frac{x_1^2-3x_1+2-x_2^2+3x_2-2}{\left(x_1-x_2\right)\left(\sqrt{x_1^2-3x_1+2}+\sqrt{x_2^2-3x_2+2}\right)}\)

\(=\frac{x_1^2-x_2^2-3x_1+3x_2}{\left(x_1-x_2\right)\left(\sqrt{x_1^2-3x_1+2}+\sqrt{x_2^2-3x_2+2}\right)}\)

\(=\frac{\left(x_1^2-x_2^2\right)-3\left(x_1-x_2\right)}{\left(x_1-x_2\right)\left(\sqrt{x_1^2-3x_1+2}+\sqrt{x_2^2-3x_2+2}\right)}\)

\(=\frac{\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2\right)_{}-3\left(x_1-x_2\right)}{\left(x_1-x_2\right)\left(\sqrt{x_1^2-3x_1+2}+\sqrt{x_2^2-3x_2+2}\right)}\)

\(=\frac{\left(x_1+x_2\right)_{}-3}{\left(\sqrt{x_1^2-3x_1+2}+\sqrt{x_2^2-3x_2+2}\right)}>0\)

=>Hàm số đồng biến trên khoảng [2;+∞)

Lấy x1,x2 thuộc (-∞;1] sao cho x2<x1<1

=>x1-1<0; x2-1<0

=>x1+x2-2<0

=>x1+x2-3<-1<0

\(\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}=\frac{\sqrt{x_1^2-3x_1+2}-\sqrt{x_2^2-3x_2+2}}{x_1-x_2}\)

\(=\frac{x_1^2-3x_1+2-x_2^2+3x_2-2}{\left(x_1-x_2\right)\left(\sqrt{x_1^2-3x_1+2}+\sqrt{x_2^2-3x_2+2}\right)}\)

\(=\frac{x_1^2-x_2^2-3x_1+3x_2}{\left(x_1-x_2\right)\left(\sqrt{x_1^2-3x_1+2}+\sqrt{x_2^2-3x_2+2}\right)}\)

\(=\frac{\left(x_1^2-x_2^2\right)-3\left(x_1-x_2\right)}{\left(x_1-x_2\right)\left(\sqrt{x_1^2-3x_1+2}+\sqrt{x_2^2-3x_2+2}\right)}\)

\(=\frac{\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2\right)_{}-3\left(x_1-x_2\right)}{\left(x_1-x_2\right)\left(\sqrt{x_1^2-3x_1+2}+\sqrt{x_2^2-3x_2+2}\right)}\)

\(=\frac{\left(x_1+x_2\right)_{}-3}{\left(\sqrt{x_1^2-3x_1+2}+\sqrt{x_2^2-3x_2+2}\right)}>0\)

=>Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;1]

y = - x + 2 x + 2

    +) Tập xác định: D = R\{-2}

    +) Ta có: 

Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (− ∞ ; −2), (−2; + ∞ )

    +) Tiệm cận đứng x = -2 vì

Tiệm cận ngang y = -1 vì

Giao với các trục tọa độ: (0; 1); (2; 0)

Đồ thị

Với m = 2 ta có hàm số 

- Tập xác định : D = R\{-1}.

- Sự biến thiên :

⇒ Hàm số đồng biến trên (-∞ ; -1) và (-1 ; +∞).

+ Cực trị : hàm số không có cực trị

+ Tiệm cận :

⇒ y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

⇒ x = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

+ Bảng biến thiên :

- Đồ thị :

\(\dfrac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}=\dfrac{x_1^2+2x_1-2-x_2^2-2x_2+2}{x_1-x_2}\)

\(=\left(x_1+x_2\right)-2\)

Vì \(x_1;x_2\in\left(-\infty;1\right)\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}x_1< 1\\x_2< 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)< 2\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)-2< 0\)

Vậy: Hàm số nghịch biến trên \(\left(-\infty;1\right)\)

Hàm số 

- Tập xác định: D = R\{2}

- Sự biến thiên:

⇒ Hàm số đồng biến trên (-∞; 2) và (2; +∞).

+ Cực trị : Hàm số không có cực trị

+ Tiệm cận: 

⇒ y = 0 (trục Ox) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

⇒ x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

+ Bảng biến thiên:

- Đồ thị:

Do đó, hàm số đã cho nghịch biến trên tập xác định.

+ Giới hạn:

⇒ x = 0 (trục Oy) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

    y = 0 (trục Ox) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

+ Bảng biến thiên:

- Đồ thị: