MA+MC= MA-MB

<=> 2 MI=BA

=> MI=BA/2

=> I thuộc đường tròn I bán kính AB/2

nãy mk quên giải thik: 

a, gọi I la trung điểm của AC=> MA+MC=2MI

hok tốt

Ta thấy \(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CM}\)

Như vậy, điểm M chính là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCM.

Xét ΔABC có G là trọng tâm

nên \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)

\(\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)\)

\(=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right)\)

\(=\dfrac{1}{3}\left(3\cdot\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)\)

\(=\dfrac{1}{3}\cdot3\cdot\overrightarrow{MG}=\overrightarrow{MG}\)

a: Gọi M là trung điểm của AB

Xét ΔABC có

G là trọng tâm

M là trung điểm của AB

Do đó: CG=2/3CM

=>CG=2GM

=>\(\overrightarrow{CG}=2\overrightarrow{GM}\)

\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\)

\(=2\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GC}\)

\(=\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)

b: \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\)

\(=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\)

\(=3\cdot\overrightarrow{MG}+\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)\)

\(=3\cdot\overrightarrow{MG}\)

Bằng vec tơ gì bạn ơi ?

ΔBAC vuông tại B

=>\(BA^2+BC^2=AC^2\)

=>\(AC^2=\left(3a\right)^2+\left(4a\right)^2=9a^2+16a^2=25a^2=\left(5a\right)^2\)

=>AC=5a

\(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\)

=>\(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{0}\)

=>\(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0}\)

=>\(\overrightarrow{MB}=-\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AC}\)

=>AMBC là hình bình hành

Xét ΔABC vuông tại B có sin BAC=\(\frac{BC}{CA}=\frac{4a}{5a}=\frac45\) ; cos BAC=\(\frac{BA}{AC}=\frac{3a}{5a}=\frac35\)

\(\sin CAM=\sin\left(CAB+BAM\right)\)

\(=\sin90^0\cdot cosBAC+cos90^0\cdot\sin BAC=cosBAC\) =3/5

=>\(cosCAM=-\sqrt{1-\sin^2CAM}=-\frac45\)

N là trung điểm của AC

=>\(AN=\frac{AC}{2}=2,5a\)

AMBC là hình bình hành

=>AM=BC=4a

Xét ΔAMN có \(cosNAM=\frac{AN^2+AM^2-MN^2}{2\cdot AN\cdot AM}\)

=>\(\frac{\left(2.5a\right)^2+\left(4a\right)^2-MN^2}{2\cdot2,5a\cdot4a}=\frac{-4}{5}\)

=>\(6,25a^2+16a^2-MN^2=-\frac45\cdot5a\cdot4a=-4a\cdot4a=-16a^2\)

=>\(MN^2=6.25a^2+16a^2+16a^2=38,25a^2\)

=>\(MN=\sqrt{38,25a^2}=a\cdot\sqrt{\frac{153}{4}}=a\cdot\frac{3\sqrt{17}}{2}\)