Với n=1 thì 1^3+2*1=3 chia hết cho 3

Với n>1 thì Giả sử n^3+2n chia hết cho 3

Chúng ta cần chứg minh (n+1)^3+2(n+1) chia hết cho 3

\(A=\left(n+1\right)^3+2\left(n+1\right)\)

\(=n^3+3n^2+3n+1+2n+2\)

=n^3+3n^2+5n+3

=n^3+2n+3n^2+3n+3n+3

=n^3+2n+3(n^2+n+n+1) chia hết cho 3

=>ĐPCM

a. 

Đề bài sai, ví dụ \(n=1\) lẻ nhưng  \(1^2+4.1+8=13\) ko chia hết cho 8

b.

n lẻ \(\Rightarrow n=2k+1\)

\(n^3+3n^2-n-3=n^2\left(n+3\right)-\left(n+3\right)=\left(n^2-1\right)\left(n+3\right)=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+3\right)\)

\(=\left(2k+1-1\right)\left(2k+1+1\right)\left(2k+1+3\right)\)

\(=8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)

Do \(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 6

\(\Rightarrow8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\) chia hết cho 48

Cách 1: Quy nạp

Đặt An = n3 + 3n2 + 5n

+ Ta có: với n = 1

A1 = 1 + 3 + 5 = 9 chia hết 3

+ giả sử với n = k ≥ 1 ta có:

Ak = (k3 + 3k2 + 5k) chia hết 3 (giả thiết quy nạp)

Ta chứng minh Ak + 1 chia hết 3

Thật vậy, ta có:

Ak + 1 = (k + 1)3 + 3(k + 1)2 + 5(k + 1)

         = k3 + 3k2 + 3k + 1 + 3k2 + 6k + 3 + 5k + 5

         = (k3 + 3k2 + 5k) + 3k2 + 9k + 9

Theo giả thiết quy nạp: k3 + 3k2 + 5k ⋮ 3

Mà 3k2 + 9k + 9 = 3.(k2 + 3k + 3) ⋮ 3

⇒ Ak + 1 ⋮ 3.

Cách 2: Chứng minh trực tiếp.

Có: n3 + 3n2 + 5n

      = n.(n2 + 3n + 5)

      = n.(n2 + 3n + 2 + 3)

      = n.(n2 + 3n + 2) + 3n

      = n.(n + 1)(n + 2) + 3n.

Mà: n(n + 1)(n + 2) ⋮ 3 (tích của ba số tự nhiên liên tiếp)

3n ⋮ 3

⇒ n3 + 3n2 + 5n = n(n + 1)(n + 2) + 3n ⋮ 3.

Vậy n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3 với mọi ∀n ∈ N*

A=n³+n²+2n²+2n

=n²(n+1)+2n(n+1)

=(n+1)(n²+2n)

=n(n+1)(n+2)

Vì tích 3 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3

=>n(n+1)(n+2) luôn chia hết cho 3 với mọi 

=>A luôn chia hết cho 3 với mọi số nguyên n.

\(n^3+3n^2+2n=n\left(n^2+3n+2\right)=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮6\) (vì là 3 số nguyên lt)

\(n^3+3n^2+2n-n\left(n^2+3n+2\right)\)

\(=n\left[n\left(n+1\right)+2\left(n+1\right)\right]=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

Là tích 3 số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 3

\(\Rightarrow n^3+3n^2+2n=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮2.3=6\forall n\in Z\)

\(Tacó:\hept{\begin{cases}2a+5⋮7\\7a+7⋮7\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}5a+2⋮7\\7⋮7\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}10a+4⋮7\\7⋮7\end{cases}}\)

\(\Rightarrow10a+4+7=10a+11⋮7\left(dpcm\right)\)

b, tự tương

\(a,2a+5⋮7\Leftrightarrow2a+5+28a+28⋮7\)         (  vì \(28a+28⋮7\) ) 

                     \(\Leftrightarrow30a+33⋮7\)

                     \(\Leftrightarrow3.\left(10a+11\right)⋮7\)

                     \(\Leftrightarrow10a+11⋮7\)   (  vì \(\left(3;7\right)=1\) ) 

Vậy \(2a+5⋮7\Leftrightarrow10a+11⋮7\)

Câu b bn xem lại đề hộ mk chút nhé!

p và q là các số nguyên tố lớn hơn 3

=>p và q đều là các số lẻ và đều không chia hết cho 3

TH1: p=3a+1; q=3b+1

\(p^2-q^2=\left(3a+1\right)^2-\left(3b+1\right)^2\)

\(=\left(3a+1-3b-1\right)\left(3a+1+3b+1\right)=\left(3a-3b\right)\left(3a+3b+1\right)=3\left(a-b\right)\left(3a+3b+1\right)\) ⋮3(2)

TH2: p=3a+1; q=3b+2

\(p^2-q^2=\left(3a+1\right)^2-\left(3b+2\right)^2\)

=(3a+1+3b+2)(3a+1-3b-2)

=(3a+3b+3)(3a-3b-1)

=3(a+b+1)(3a-3b-1)⋮3(1)

TH3: p=3a+2; q=3b+1

\(p^2-q^2=\left(3a+2\right)^2-\left(3b+1\right)^2\)

=(3a+2-3b-1)(3a+2+3b+1)

=(3a+3b+3)(3a-3b+1)

=3(a+b+1)(3a-3b+1)⋮3(3)

TH4: p=3a+2; q=3b+2

\(p^2-q^2=\left(3a+2\right)^2-\left(3b+2\right)^2\)

=(3a+2-3b-2)(3a+2+3b+2)

=(3a-3b)(3a+3b+4)

=3(a-b)(3a+3b+4)⋮3(4)

Từ (1),(2),(3),(4) suy ra \(p^2-q^2\) ⋮3

p,q là các số lẻ

=>p=2a+1; q=2b+1

\(p^2=\left(2a+1\right)^2=4a^2+4a+1=4a\left(a+1\right)+1\)

\(q^2=\left(2b+1\right)^2=4b^2+4b+1=4b\left(b+1\right)+1\)

Vì a;a+1 là hai số tự nhiên liên tiếp

nên a(a+1)⋮2

=>4a(a+1)⋮8

Vì b;b+1 là hai số tự nhiên liên tiếp

nên b(b+1)⋮2

=>4b(b+1)⋮8

\(p^2-q^2=\left(2a+1\right)^2-\left(2b+1\right)^2\)

=4a(a+1)-4b(b+1)

mà 4a(a+1)⋮8 và 4b(b+1)⋮8

nên \(p^2-q^2\) ⋮8

mà \(p^2-q^2\) ⋮3

và ƯCLN(3;8)=1

nên \(p^2-q^2\) ⋮3*8

=>\(p^2-q^2\) ⋮24

mà 48⋮24

nên \(p^2-q^2-48\) ⋮24