.............

Ngu nhu chó

cho s=1+2+2^2+2^3+...+2^100 tìm x biết s+1=2^x~7

chia thành từng bộ ba thì tổng của 99 số hạng sau chia hết cho 7

2 + (2\(^2\)+2\(^3\)+2\(^4\)) +..+ (2\(^{98}\)+2\(^{99}\)+2\(^{100}\))
 2 + 7.2\(^2\) +..+ 7.2\(^{98}\) => A chia 7 dư 2

Ta có: \(A=7^{100}+7^{99}+7^{98}+\cdots+7^2+7+1\)

\(=\left(7^{100}+7^{99}+7^{98}\right)+\left(7^{97}+7^{96}+7^{95}\right)+\cdots+\left(7^4+7^3+7^2\right)+\left(7+1\right)\)

\(=7^{98}\cdot\left(7^2+7+1\right)+7^{95}\left(7^2+7+1\right)+\cdots+7^2\left(7^2+7+1\right)+8\)

\(=57\left(7^{98}+7^{95}+\cdots+7^2\right)+8\)

=>A chia 19 dư 8

\(A=2+2^2+2^3+...+2^{100}\)

\(A=\left(2+2^2+2^3\right)+...+\left(2^{98}+2^{99}+2^{100}\right)\)

\(A=2\left(1+2+2^2\right)+...+2^{98}\left(1+2+2^2\right)\)

\(A=2\left(1+2+4\right)+...+2^{98}\left(1+2+4\right)\)

\(A=2.7+...+2^{98}.7\)

\(A=7.\left(2+...+2^{98}\right)\)

\(\Rightarrow A⋮7\)

Vậy A:7 dư 0

Ta có: A-2 = 2²+2³+...+2¹⁰⁰

Tổng số số hạng của (A-2) là (100-2+1)=99 (số hạng)

Nhóm 3 số hạng liên tiếp với nhau ta được:

A-2 = (2²+2³+2⁴)+(2⁵+2⁶+2⁷)+...+(2⁹⁸+2⁹⁹+2¹⁰⁰)

<=> A-2 = 2²(1+2+2²)+2⁵(1+2+2²)+...+2⁹⁸(1+2+2²)

=> A-2 = 7.(2²+2⁵+...+2⁹⁸)

Như vậy, A-2 chia hết cho 7

=> A chia cho 7 dư 2

Lời giải:

$A=2+2^2+2^3+2^4+...+2^{100}+2^{101}$

$=2+2^2+(2^3+2^4+2^5)+....+(2^{99}+2^{100}+2^{101})$

$=6+2^3(1+2+2^2)+....+2^{99}(1+2+2^2)$

$=6+(1+2+2^2)(2^3+....+2^{99})$

$=6+7(2^3+....+2^{99})$

$\Rightarrow A$ chia $7$ dư $6$.

2¹ + 2² + ... + 2¹⁰⁰ 

= 2 + (2² + 2³ + 2⁴) + ... + (2⁹⁸ + 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰)

= 2 + 2².(1 + 2¹ + 2²) + ... + 2⁹⁸.(1 + 2¹ + 2²

= 2 + 2².(1 + 2 + 4) + ... + 2⁹⁸.(1 + 2 + 4)

= 2 + 2².7 + 2³.7 + ... + 2⁹⁸.7

= 2 + (2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2⁹⁸).7

Vì (2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2⁹⁸).7 chia hết cho 7, 2 chia 7 dư 2 =>  2 + (2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2⁹⁸).7 dư 2

Vậy 2¹ + 2² + ... + 2¹⁰⁰  chia 7 dư 2

B=1+2+2^2+2^3+...+2^100

=1+2+2^2(1+2+4)+....+2^98(1+2+4)

=3+7*(2^2+2^3+2^4+...+2^98)

vậy B chia 7 dư 3