phần b) là : 4DM<BC nha các anh chị

a) vì AD là tia phân giác của góc BAC

=> góc DAB = góc DAC= góc BAC/2

mà ta có góc ADB=góc DAC+ góc C

thay góc DAC= góc DAB vào ta có:

góc ADB= góc DAB+ góc C

vì góc C>0

=> góc ADB> góc DAB

=> AB>BD9đpcm)

b) ta có góc A+ góc C= 180 độ- góc B

vì góc B>60 độ

=> góc A+ góc C> 120 độ

mà góc ADB= góc DAC + góc C= góc A/2+ góc C

góc ADB= ( góc A+ 2 x góc C)/2=( góc A+ góc C)/2 + góc C/2

do góc A+ góc C>120 độ và góc C>0 độ

=> góc ADB> 120 độ+0 độ= 60 độ

vì góc ADB>60 độ mà góc B < 60 độ

=> góc ADB> góc B

=> AB>AD

vì AD là tia phân giác của góc BAC

=> \(\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow BD=CD\cdot\frac{AB}{AC}\)

vì AM là tia phân giác của góc DAC

=> \(\frac{DM}{MC}=\frac{AD}{AC}\Rightarrow MC=DM\cdot\frac{AC}{AD}\)

ta có CD= \(DM+MC=DM+DM\cdot\frac{AC}{AD}=DM\left(1+\frac{AC}{AD}\right)\)

thay vào BD=\(CD\cdot\frac{AB}{AC}\) ta có:

\(BD=DM\left(1+\frac{AC}{AD}\right)\cdot\frac{AB}{AC}=DM\left(\frac{AB}{AC}+\frac{AB}{AD}\right)\)

mà BC=\(BD+CD=DM\left(\frac{AB}{AC}+\frac{AB}{AD}\right)+DM\left(1+\frac{AC}{AD}_{}\right)\)

\(BC=DM\left(\frac{AB}{AC}+\frac{AB}{AD}+\frac{AC}{AD}+1\right)\)

áp dụng bđt cauchy cho hai số hạng đầu và số hạng cuối trong ngoặc

ta có \(\frac{AB}{AC}+\frac{AC}{AD}\ge2\sqrt{\frac{AB}{AC}\cdot\frac{AC}{AD}}=2\sqrt{\frac{AB}{AD}}\)

=> \(\frac{AB}{AC}+\frac{AC}{AD}+\frac{AB}{AD}\ge\frac{AB}{AD}+2\sqrt{\frac{AB}{AD}}\)

vì AB>AD=> \(\frac{AB}{AD}>1;\sqrt{\frac{AB}{AD}}>1\)

=> \(\frac{AB}{AD}+2\sqrt{\frac{AB}{AD}}>1+2=3\)

=> \(\frac{AB}{AC}+\frac{AC}{AD}+\frac{AB}{AD}>3\)

=> \(\frac{AB}{AC}+\frac{AC}{AD}+\frac{AB}{AD}+1>4\)

=> \(DM\left(\frac{AB}{AC}+\frac{AC}{AD}+\frac{AB}{AD}+1\right)>4DM\)

=> \(BC>4DM\left(đpcm\right)\)

a) Xét tam giác BHA và BHE có:

BD chung

\(\widehat{ABD}\)=\(\widehat{EBD}\)(vì BD là phân giác \(\widehat{B}\))

\(\widehat{BHA}\)=\(\widehat{BHE}\)(vì AH vuông góc với Bd tại H)

\(\Rightarrow\)Tam giác BHA=tam giac BHE(c.g.v-g.n.k)

b) Xét Tam giác BDA và tam giác BDE có

BD chung

BA=BE( vì tam giac BHA = tam giac BHE( chứng minh phần a))

ABD=EBD( vì BD là phân giác của\(\widehat{B}\))

\(\Rightarrow\)Tam giác BDA = Tam giác BDE(c.g.c)

\(\Rightarrow\)\(\widehat{BEA}\)=\(\widehat{A}\)= 90^o(2 canh tương ứng và \(\widehat{A}\)= 90^o)

ED vuông góc với B tại E

A B C D K E H

d, DA= DE do tam giác ABD = tam giác EBD (Câu b)

=> tam giác DAE cân tại D (đn)

=> ^DAE = ^DEA (tc)            (1)

có : AK _|_ BC (gt) ; DE _|_ BC (câu b)

=> DE // AK 

=> ^DEA = ^EAK (slt) và (1)

=> ^DAE = ^EAK mà AE nằm giữa AD và AK 

=> AE là phân giác của ^CAK (đn)

c, AD = DE

DE < CD do tam giác CDE vuông tại E

=> AD < DC

b) Xét ΔABC vuông tại A và ΔDBE vuông tại D có 

AB=BD(gt)

\(\widehat{ABC}\) chung

Do đó: ΔABC=ΔDBE(cạnh góc vuông-góc nhọn kề)

c) Xét ΔBAH vuông tại A và ΔBDH vuông tại D có 

BH chung

BA=BD(gt)

Do đó: ΔBAH=ΔBDH(Cạnh huyền-cạnh góc vuông)

Suy ra: \(\widehat{ABH}=\widehat{DBH}\)(hai góc tương ứng)

hay BH là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\)

d) Ta có: BH là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\)(cmt)

nên \(\widehat{ABH}=\dfrac{\widehat{ABC}}{2}=\dfrac{60^0}{2}=30^0\)

Ta có: \(\widehat{ABH}+\widehat{HBK}=90^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{HBK}+30^0=90^0\)

hay \(\widehat{HBK}=60^0\)

Xét ΔCHD vuông tại D và ΔCBA vuông tại A có 

\(\widehat{ACB}\) chung

Do đó: ΔCHD\(\sim\)ΔCBA(g-g)

Suy ra: \(\widehat{CHD}=\widehat{CBA}\)(hai góc tương ứng)

\(\Leftrightarrow\widehat{CHD}=60^0\)

mà \(\widehat{CHD}=\widehat{HKB}\)(hai góc so le trong, BK//AC)

nên \(\widehat{HKB}=60^0\)

Xét ΔHBK có 

\(\widehat{HKB}=60^0\)(cmt)

\(\widehat{HBK}=60^0\)(cmt)

Do đó: ΔHBK đều(Dấu hiệu nhận biết tam giác đều)

Ý d bạn chứng minh góc BHD = 60 độ thì bài sẽ ngắn hơn bạn giải xong thì mình làm xong rồi nhưng vẫn cảm ơn bạn ! 

a: Xét ΔBAD vuông tại A và ΔBED vuông tại E có

BD chung

góc ABD=góc EBD

=>ΔBAD=ΔBED

b: ΔBAD=ΔBED

=>DA=DE và BA=BE

=>ΔADE cân tại D và BD là trung trực của AE
c: AD=DE

DE<DC

=>AD<DC

d: AH vuông góc BC

DE vuông góc BC

=>AH//DE

góc AFD=góc BFH=90 độ-góc DBC

góc ADF=90 độ-góc ABD

mà góc DBC=góc ABD

nên góc AFD=góc ADF
=>ΔADF cân tại A

a: Ta có: \(\hat{ABD}=\hat{DBC}=\frac12\cdot\hat{ABC}\) (BD là phân giác của góc ABC)

\(\hat{ACE}=\hat{BCE}=\frac12\cdot\hat{ACB}\) (CE là phân giác của góc ACB)

mà \(\hat{ABC}=\hat{ACB}\) (ΔABC cân tại A)

nên \(\hat{ABD}=\hat{DBC}=\hat{ACE}=\hat{ECB}\)

Xét ΔADB và ΔAEC có

\(\hat{ABD}=\hat{ACE}\)

AB=AC
\(\hat{DAB}\) chung

DO đó: ΔADB=ΔAEC
=>DB=EC

b: Sửa đề: Chứng minh ED//BC

ΔADB=ΔAEC

=>AD=AE

Xét ΔABC có \(\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}\)

nên ED//BC

c: Xét ΔBAC có BD là phân giác

nên \(\frac{AD}{DC}=\frac{BA}{BC}\)

=>\(\frac{AD}{DC}=\frac64=\frac32\)

=>\(\frac{AD}{3}=\frac{DC}{2}\)

mà AD+DC=AC=6cm

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{AD}{3}=\frac{DC}{2}=\frac{AD+DC}{3+2}=\frac65=1,2\)

=>\(\begin{cases}AD=3\cdot1,2=3,6\left(\operatorname{cm}\right)\\ CD=2\cdot1,2=2,4\left(\operatorname{cm}\right)\end{cases}\)

A B C D H

a) Xét △ABD và △HBD có:

Góc BAD= Góc BHD (=90 độ)

BD chung

Góc ABD= Góc HBD (BD là phân giác góc ABC)

=>△ABD=△HBD (ch.gn) (đpcm)

b)=>AD=HD (2 cạnh tương ứng) (1)

Xét △HDC: Góc DHC=90 độ

=>DH<DC (2)

Từ (1),(2) =>AD<DC

Chúc bạn hok tốt!!!