Bài 4:

a: DB là phân giác của góc ADC

=>\(\hat{BDC}=\frac12\cdot\hat{ADC}=\frac12\cdot\hat{BCD}\)

ΔBCD vuông tại B

=>\(\hat{BDC}+\hat{BCD}=90^0\)

=>\(\frac12\cdot\hat{BCD}+\hat{BCD}=90^0\)

=>\(\frac32\cdot\hat{BCD}=90^0\)

=>\(\hat{BCD}=60^0\)

AB//CD
=>\(\hat{ABC}+\hat{BCD}=180^0\) (hai góc trong cùng phía)

=>\(\hat{ABC}=180^0-60^0=120^0\)

ABCD là hình thang cân

=>\(\hat{ABC}=\hat{BAD}\)

=>\(\hat{BAD}=120^0\)

ABCD là hình thang cân

=>\(\hat{ADC}=\hat{BCD}\)

=>\(\hat{ADC}=60^0\)

b:

DB là phân giác của góc ADC

=>\(\hat{ADB}=\hat{CDB}=\frac12\cdot\hat{ADC}=30^0\)

AB//CD

=>\(\hat{ABD}=\hat{BDC}\) (hai góc so le trong)

=>\(\hat{ABD}=30^0\)

Xét ΔABD có \(\hat{ABD}=\hat{ADB}\)

nên ΔABD cân tại A

=>AB=AD

mà AD=BC

nên AB=AD=BC

=>AB=AD=6cm

Xét ΔBCD vuông tại B có sin BDC=\(\frac{BC}{CD}\)

=>\(\frac{6}{CD}=\sin30=\frac12\)

=>CD=12(cm)

Chu vi hình thang ABCD là:

AB+BC+CD+AD

=6+6+12+6

=12+18

=30(cm)

Kẻ BH⊥CD tại H

Xét ΔBHC vuông tại H có sin C=\(\frac{BH}{BC}\)

=>\(\frac{BH}{6}=\sin60=\frac{\sqrt3}{2}\)

=>\(BH=3\sqrt3\) (cm)

Diện tích hình thang ABCD là:

\(S_{ABCD}=\frac12\cdot BH\cdot\left(AB+CD\right)\)

\(=\frac12\cdot3\sqrt3\left(6+12\right)=18\cdot\frac{3\sqrt3}{2}=9\cdot3\sqrt3=27\sqrt3\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

BÀi 2:

a: AB//CD
=>\(\hat{OAB}=\hat{ADC}\) (hai góc đồng vị) và \(\hat{OBA}=\hat{BCD}\) (hai góc đồng vị)

mà \(\hat{ADC}=\hat{BCD}\) (ABCD là hình thang cân)

nên \(\hat{OAB}=\hat{OBA}\)

=>ΔOAB cân tại O

b: Xét ΔABD và ΔBAC có

AB chung

BD=AC

AD=BC

Do đó: ΔABD=ΔBAC

c: Ta có: ΔABD=ΔBAC

=>\(\hat{ABD}=\hat{BAC}\)

=>\(\hat{EAB}=\hat{EBA}\)

=>EA=EB

Ta có: EA+EC=AC

EB+ED=BD

mà EA=EB và AC=BD

nên EC=ED

d: Ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(1)

Ta có: EA=EB

=>E nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1),(2) suy ra OE là đường trung trực của AB

Ta có: EC=ED

=>E nằm trên đường trung trực của CD(3)

Ta có: OA+AD=OD

OB+BC=OC

mà OA=OB và AD=BC

nên OD=OC

=>O nằm trên đường trung trực của DC(4)

Từ (3),(4) suy ra EO là đường trung trực của DC

Câu 1: 

Xét ΔAED vuông tại E và ΔBFC vuông tại F có

AD=BC

góc D=góc C
Do đó: ΔAED=ΔBFC

Suy ra: DE=CF

Bài 2: 

b: Xét ΔBAD và ΔABC có

AB chung

AD=BC

BD=AC

Do đó: ΔBAD=ΔABC

Suy ra: góc EAB=góc EBA

=>ΔEAB cân tại E

=>EA=EB

Bài 1: 

Xét ΔABC và ΔBAD có 

AB chung

BC=AD

AC=BD

Do đó: ΔABC=ΔBAD

Suy ra: \(\widehat{BAC}=\widehat{ABD}\)

hay \(\widehat{EAB}=\widehat{EBA}\)

hay ΔEAB cân tại E

Chọn D

Bài 2:Bổ sung đề: \(\hat{CBA}=60^0\)

a: ABCD là hình thang cân

=>\(\hat{CBA}=\hat{DAB}\)

=>\(\hat{DAB}=60^0\)

CD//BA

=>\(\hat{DCB}+\hat{CBA}=180^0\)

=>\(\hat{DCB}=180^0-60^0=120^0\)

ABCD là hình thang cân

=>\(\hat{DCB}=\hat{CDA}\)

=>\(\hat{CDA}=120^0\)

b: Sửa đề: AC là phân giác của góc DAB

ΔCBA vuông tại C

=>\(\hat{CBA}+\hat{CAB}=90^0\)

=>\(\hat{CAB}=90^0-60^0=30^0\)

=>\(\hat{CAB}=\frac12\cdot\hat{DAB}\)

=>AC là phân giác của góc DAB

c: Kẻ CH⊥AB tại H

TA có: DC//AB

=>\(\hat{DCA}=\hat{CAB}\) (hai góc so le trong)

mà \(\hat{CAB}=\hat{DAC}\) (AC là phân giác của góc DAB)

nên \(\hat{DCA}=\hat{DAC}\)

=>DC=DA

mà DA=CB

nên CB=CD=DA=a

Xét ΔCBA vuông tại C có sin CAB=\(\frac{CB}{AB}\)

=>\(\frac{a}{AB}=\sin30=\frac12\)

=>AB=2a

Xét ΔCAB vuông tại C có CH là đường cao

nên \(CH\cdot AB=CB\cdot CA\)

=>\(CH\cdot2a=a\cdot a\sqrt3=a^2\sqrt3\)

=>\(CH=\frac{a\sqrt3}{2}\)

Diện tích hình thang ABCD là:

\(S_{ABCD}=\frac12\cdot\left(CD+BA\right)\cdot CH\)

\(=\frac12\cdot\frac{a\sqrt3}{2}\cdot\left(a+2a\right)=\frac{a\sqrt3}{4}\cdot3a=\frac{3a^2\sqrt3}{4}\)

Bài 1: 
Xét ΔABC và ΔBAD có 

AB chung

BC=AD

AC=BD

Do đó:ΔABC=ΔBAD

Suy ra: \(\widehat{BAC}=\widehat{ABD}\)

hay \(\widehat{EAB}=\widehat{EBA}\)

hay ΔEAB cân tại E

Xét ΔIDC có

M,N lần lượt là trung điểm của ID,IC

=>MN là đường trung bình của ΔIDC

=>MN//DC

mà DC//AB

nên MN//AB

Xét ΔADC và ΔBCD có

AD=BC

DC chung

AC=BD

Do đó: ΔADC=ΔBCD

=>\(\hat{ACD}=\hat{BDC}\)

=>\(\hat{IDC}=\hat{ICD}\)

=>IC=ID

mà \(IM=\frac{ID}{2};IN=\frac{IC}{2}\)

nên IM=IN

Ta có: IC+IA=AC

ID+IB=BD

mà IC=ID và AC=BD

nên IA=IB

Ta có: AN=AI+IN

BM=BI+IM

mà AI=IB và IN=IM

nên AN=BM

Xét tứ giác ABNM có

AB//MN

AN=BM

Do đó: ABNM là hình thang cân

1: Xét ΔAHD vuông tại H và ΔBKC vuông tại K có

AD=BC

\(\hat{ADH}=\hat{BCK}\)

Do đó: ΔAHD=ΔBKC

2: Xét ΔBAD và ΔABC có

AB chung

BD=AC

AD=BC

Do đó: ΔBAD=ΔABC

=>\(\hat{ABD}=\hat{BAC}\)

=>\(\hat{OAB}=\hat{OBA}\)

=>OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(1)

Ta có: AB//CD
=>\(\hat{IAB}=\hat{ADC}\) (hai góc đồng vị) và \(\hat{IBA}=\hat{BCD}\) (hai góc đồng vị)

mà \(\hat{ADC}=\hat{BCD}\) (ABCD là hình thang cân)

nên \(\hat{IAB}=\hat{IBA}\)

=>IA=IB

=>I nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1),(2) suy ra OI là đường trung trực của AB