- Kẻ đường kính BB’ .Nếu H là trực tâm của tam giác ABC thì AH=B’C. Do C,B’ cố định , cho nên B’C là một véc tơ cố định \(\overrightarrow{\Rightarrow AH}=\overrightarrow{B'C}\)

Theo định nghĩa về phép tịnh tiến điểm A đã biến thành điểm H . Nhưng A lại chạy trên (O;R) cho nên H chạy trên đường tròn (O’;R) là ảnh của (O;R) qua phép tịnh tiến dọc theo \(\overrightarrow{v}=\overrightarrow{B'C}\)

- Cách xác định đường tròn (O’;R) . Từ O kẻ đường thẳng song song với B’C . Sau đó dựng véc tơ : \(\overrightarrow{OO'}=\overrightarrow{B'C}\). Cuối cùng từ O’ quay đường tròn bán kính R từ tâm O’ ta được đường tròn cần tìm .

- Kẻ AA’ ( là đường kính của (O) ) suy ra BHCA’ là hình bình hành , cho nên BC đi qua trung điểm I của A’H .

- A’H’ song song với BC ( vì cùng vuông góc với AH )

- Từ đó suy ra BC là đường trung bình của tam giác AHH’ – Có nghĩa là BC đi qua trung điểm của HH’ . Mặt khác AH vuông góc với BC suy ra BC là trục đối xứng của HH’ , hay H và H’ đối xứng nhau qua BC.

Gọi H là giao ba đường cao của tam giác ABC . Kéo dài AH cắt (O;R) tại H’ . Nối CH’

- Chứng minh IH=IH’ . Thật vậy

          Ta có : \(\widehat{A}=\widehat{BCH'}\) ( Góc nội tiếp chẵn cung BH’ ).(1)

Mặt khác : \(\begin{cases}CH\perp AB\\CI\perp AH'\end{cases}\)\(\Rightarrow\widehat{A}=\widehat{BCH}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra : \(\widehat{BCH}=\widehat{BCH'}\)

Chứng tỏ tam giác HCH’ là tam giác cân . Do BC vuông góc với HH’ , chứng tỏ BC là đường trung trực của HH’ . Hay H và H’ đối xứng nhau qua BC . Cho nên khi A chạy trên đường tròn (O;R) thì H’ cũng chạy trên (O;R) và H sẽ chạy trên đường tròn (O’;R) là ảnh của đường tròn (O;R) qua phép đối xứng trục BC

- Giới hạn quỹ tích : Khi A trùng với B và C thì tam giác ABC suy biến thành đường thẳng . Vì thế trên đường tròn (O’;R) bỏ đi 2 điểm là ảnh của B,C 

1: ΔOBC cân tại O

mà OM là đường trung tuyến

nên OM⊥BC tại M

Ta có: \(\hat{OMK}=\hat{OAK}=90^0\)

=>O,M,A,K cùng thuộc đường tròn đường kính OK

2: Xét (O) có

\(\hat{KAB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AK và dây cung AB

\(\hat{ACB}\) là góc nội tiếp chắn cung AB

Do đó: \(\hat{KAB}=\hat{ACB}\)

Xét ΔKAB và ΔKCA có

\(\hat{KAB}=\hat{KCA}\)

góc AKB chung

Do đó: ΔKAB~ΔKCA
=>\(\frac{KA}{KC}=\frac{KB}{KA}\)

=>\(KA^2=KB\cdot KC\) (1)

ΔOAK vuông tại A

=>\(AO^2+AK^2=KO^2\)

=>\(KA^2=KO^2-R^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(KA^2=KB\cdot KC=KO^2-R^2\)

- Kẻ đường kính BB’

.Nếu H là trực tâm của tam giác ABC thì AH=B’C. Do C,B’ cố định , cho nên B’C là một véc tơ cố định => AH = B'C

. Theo định nghĩa về phép tịnh tiến điểm A đã biến thành điểm H .

Nhưng A lại chạy trên (O;R) cho nên H chạy trên đường tròn (O’;R) là ảnh của (O;R) qua phép tịnh tiến dọc theo v = B'C

- Cách xác định đường tròn (O’;R) .

Từ O kẻ đường thẳng song song với B’C . Sau đó dựng véc tơ : OO' = B'C

Cuối cùng từ O’ quay đường tròn bán kính R từ tâm O’ ta được đường tròn cần tìm .

cho 2 điểm B , C cố định nằm trên đường tròn (O ; R) và điểm A thay đổi trên đường tròn đó . Hãy dùng phép đối xứng trục để chứng minh rằng trực tâm H của tam giác ABC nằm trên 1 đường tròn cố định .

lấy đường kính AH' hãy chứng minh H và H' đối xứng qua trung điểm I của BC (tức là chứng minh BHCH' là hình bình hành), dễ thôi. H đối xứng với H' qua I mà H' thuộc (O;R) suy ra H thuộc (I;R). 
hàm chẵn thì f(x)=f(-x), lấy 2 điểm (-x;b) và (x;b) , hai điểm có trung điểm là (0;b) thuộc x=0 với mọi x vậy đối xứng qua trục Oy.