\(M^2=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}+\frac{2xy}{\sqrt{yz}}+\frac{2yz}{\sqrt{zx}}+\frac{2xz}{\sqrt{yz}}=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}+\frac{2x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{z}}{\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{x}}{\sqrt{y}}\)

Áp dụng bđt Cô-si: \(\frac{x^2}{y}+\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+z\ge4\sqrt[4]{\frac{x^2}{y}.\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}.\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}.z}=4x\)

tương tự \(\frac{y^2}{z}+\frac{y\sqrt{z}}{\sqrt{x}}+\frac{y\sqrt{z}}{\sqrt{x}}+x\ge4y\);\(\frac{z^2}{x}+\frac{z\sqrt{x}}{\sqrt{y}}+\frac{z\sqrt{x}}{\sqrt{y}}+y\ge4z\)

=>\(M^2+x+y+z\ge4\left(x+y+z\right)\Rightarrow M^2\ge3\left(x+y+z\right)\ge3.12=36\Rightarrow M\ge6\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=4

Vậy minM=6 khi x=y=z=4

b1: Áp dụng bđt Cauchy Schwarz dạng Engel ta được:

\(P=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{y+z+x+z+y+y}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}=\frac{2}{2}=1\)

=>minP=1 <=> x=y=z=2/3

Ta có tổng là 1 số chẵn

Mà 2^x và 2^y là số chẵn ( vì x,y nguyên dương)

=>3^z chẵn, vô lí

Vậy không có x,y,z thỏa mãn đề bài

x=5

y=7

z=10

Thầy t chữa rùi

\(x^2+y^2+z^2\ge\frac{1}{3}\left(a+y+z\right)^2\)

Vì $x+y+z=3$ nên $y+z=3-x,\quad x+z=3-y,\quad x+y=3-z.$

Do đó $P=\dfrac1{x^2+3-x}+\dfrac1{y^2+3-y}+\dfrac1{z^2+3-z}.$

Với $0<x<3$, ta có $\dfrac1{x^2+3-x}\le\dfrac{4-x}{9}$ vì $\dfrac{4-x}{9}-\dfrac1{x^2+3-x}$

$=\dfrac{(4-x)(x^2-x+3)-9}{9(x^2-x+3)}$

$=\dfrac{-(x-3)(x-1)^2}{9(x^2-x+3)}\ge0.$

Tương tự, $\dfrac1{y^2+3-y}\le\dfrac{4-y}{9}$

$\dfrac1{z^2+3-z}\le\dfrac{4-z}{9}.$

Suy ra $P\le\dfrac{4-x}{9}+\dfrac{4-y}{9}+\dfrac{4-z}{9}$$=\dfrac{12-(x+y+z)}9$$=\dfrac{12-3}{9}$$=1.$

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1.$

Khi đó $P=\dfrac13+\dfrac13+\dfrac13=1.$

Vậy $P_{\max}=1.$

Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:

$\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\geq 2\sqrt{\frac{x^2}{y+z}.\frac{y+z}{4}}=x$

$\frac{y^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\geq y$

$\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\geq z$

Cộng theo vế các BĐT trên và thu gọn ta được:

$P\geq \frac{x+y+z}{2}=\frac{2}{2}=1$ 

Vậy $P_{\min}=1$ khi $x=y=z=\frac{2}{3}$

cảm ơn chị rất nhiều =)))))))) 

\(x,y,z>0\)

Áp dụng BĐT Caushy cho 3 số ta có:

\(x^3+y^3+z^3\ge3\sqrt[3]{x^3y^3z^3}=3xyz\ge3.1=3\)

\(P=\dfrac{x^3-1}{x^2+y+z}+\dfrac{y^3-1}{x+y^2+z}+\dfrac{z^3-1}{x+y+z^2}\)

\(=\dfrac{\left(x^3-1\right)^2}{\left(x^2+y+z\right)\left(x^3-1\right)}+\dfrac{\left(y^3-1\right)^2}{\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)}+\dfrac{\left(z^3-1\right)^2}{\left(x+y+z^2\right)\left(x^3-1\right)}\)

Áp dụng BĐT Caushy-Schwarz ta có:

\(P\ge\dfrac{\left(x^3+y^3+z^3-3\right)^2}{\left(x^2+y+z\right)\left(x^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)}\)

\(\ge\dfrac{\left(3-3\right)^2}{\left(x^2+y+z\right)\left(x^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)}=0\)

\(P=0\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Vậy \(P_{min}=0\)