C B A M N x y 2y 2x O

Giả sử hai đường trung tuyến CM và BN vuông góc với nhau tại O.

Đặt OM = y , ON = x (x,y > 0) , suy ra OB = 2x , OC = 2y

Ta có : \(AB^2=\left(2BM\right)^2=4BM^2=4\left(4x^2+y^2\right)\)

\(AC^2=\left(2CN\right)^2=4CN^2=4\left(4y^2+x^2\right)\)

\(\Rightarrow AB^2+AC^2=4\left(4x^2+y^2\right)+4\left(4y^2+x^2\right)\)

\(=4\left(5x^2+5y^2\right)=5\left(4x^2+4y^2\right)=5\left[\left(2x\right)^2+\left(2y\right)^2\right]\)

\(=5\left(OB^2+OC^2\right)=BC^2\)

\(\Rightarrow AB^2+AC^2=5BC^2\)

Bạn tham khảo nha : https://diendantoanhoc.net/topic/53004-cho-tam-giac-abc-va-hai-trung-tuy%E1%BA%BFn-bn-va-cm-vuong-goc-v%E1%BB%9Bi-nhau-ch%E1%BB%A9ng-minh-cotgbcotgc-23/page-1

a)

• Gọi AH,AM lần lượt là đường cao, đường trung tuyến của tam giác ABC, G là trọng tâm tam giác ABC
• Ta có: \(AH\le AM\Rightarrow\frac{1}{AH}\ge\frac{1}{AM}\Rightarrow\frac{1}{AH}\ge\frac{1}{3GM}\)( do G là trọng tâm tam giác ABC)\(\left(1\right)\)
• Xét tam giác BGC vuông tại G có BM là trung tuyến( do M là trung điểm BC)\(\Rightarrow2GM=BC\left(2\right)\)
• \(\cot B+\cot C=\frac{BH}{AH}+\frac{HC}{AH}=\frac{BC}{AH}\left(3\right)\)
• Từ \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\Rightarrow\cot B+\cot C\ge\frac{2}{3}\left(đpcm\right)\)

Bài giải

Vì tam giác ABC vuông tại A nên:

\(\widehat{BAC}=90^\circ\).

Gọi M là trung điểm BC, N là trung điểm AC.

Vì AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên:

\(AM=BM=CM=\dfrac{BC}{2}\).

Do BN vuông góc AM nên tam giác ABM vuông tại M.

Ta có:

\(AB^2=AM^2+BM^2\)

\(x^2=2AM^2\)

Suy ra \(AM=\dfrac{x\sqrt2}{2}\).

Do đó:

\(BC=2AM=x\sqrt2\).

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác ABC:

\(AC^2=BC^2-AB^2\)

\(AC^2=2x^2-x^2=x^2\).

Suy ra \(AC=x\).

Vậy \(AC=x,\ BC=x\sqrt2\).

Bài giải

Vì tam giác ABC vuông tại A, BD là đường phân giác và AM vuông góc BD.

Gọi M là trung điểm BC.

Ta có AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên:

\(AM=BM=CM=\dfrac{BC}{2}\).

Xét tam giác ABM và DBM:

- \(AM=BM\)

- \(\widehat{AMB}=90^\circ\)

- \(BD\) là đường phân giác của \(\widehat{ABC}\).

Vì AM vuông góc BD nên đường BD vừa là phân giác vừa vuông góc với AM. Suy ra tam giác ABC cân tại B.

Do đó \(AB=BC\).

Mà tam giác ABC vuông tại A nên:

\(AB^2+AC^2=BC^2\).

Thay \(AB=BC\) vào, ta được:

\(AC^2=0\), vô lý với tam giác ABC không suy biến.

câu 2 : 

a) có phải là chứng minh AM ⊥ BC không

xét ΔAMB và ΔAMC, ta có : 

AB = AC (2 cạnh bên của ΔABC cân tại A)

MB = MC (AM là đường trung tuyến của cạnh BC)

AM là cạnh chung

=> ΔAMB = ΔAMC (c.c.c)

=> \(\widehat{AMB}=\widehat{AMC}\) (2 cạnh tương ứng)

mà \(\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^O\) (kề bù)

\(\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=\dfrac{180^O}{2}=90^O\)

=> AM ⊥ BC

a: Xét ΔABC vuông tại A và ΔHBA vuông tại H có 

\(\widehat{ABC}\) chung

Do đó: ΔABC~ΔHBA

=>\(\dfrac{BA}{BH}=\dfrac{BC}{BA}\)

=>\(BA^2=BH\cdot BC\)

b: Sửa đề: Đường trung tuyến CM của ΔABC cắt HD tại N

Ta có: HD\(\perp\)AC

AB\(\perp\)AC

Do đó: HD//AB

=>ND//AM và HN//MB

Xét ΔCAM có ND//AM

nên \(\dfrac{ND}{AM}=\dfrac{CN}{CM}\left(1\right)\)

Xét ΔCMB có NH//MB

nên \(\dfrac{NH}{MB}=\dfrac{CN}{CM}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{ND}{AM}=\dfrac{NH}{MB}\)

mà AM=MB

nên ND=NH

=>N là trung điểm của DH