\(BC=BH+HC=2+8=10\left(cm\right)\)

△ABC vuông tại A có \(BC^2=AB^2+AC^2\\ \Rightarrow AB^2=BC^2-AC^2=10^2-6^2=64\\ \Rightarrow AB=8\left(cm\right)\)

a: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=6^2+9^2=36+81=117\)

=>\(BC=\sqrt{117}=3\sqrt{13}\left(\operatorname{cm}\right)\)

Xet ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot3\sqrt{13}=6\cdot9=54\)

=>\(AH=\frac{54}{3\sqrt{13}}=\frac{18}{\sqrt{13}}\left(\operatorname{cm}\right)\)

Xét ΔBCA vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BH\cdot BC=BA^2\)

=>\(BH=\frac{6^2}{3\sqrt{13}}=\frac{36}{3\sqrt{13}}=\frac{12}{\sqrt{13}}\) (cm)

BH+HC=BC

=>\(HC=3\sqrt{13}-\frac{12}{\sqrt{13}}=\frac{39-12}{\sqrt{13}}=\frac{27}{\sqrt{13}}\) (cm)

b: ΔAHB vuông tại H

=>\(AH^2+HB^2=AB^2\)

=>\(AH^2=15^2-9^2=225-81=144=12^2\)

=>AH=12(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(HA^2=HB\cdot HC\)

=>HC=12^2/9=16(cm)

BC=BH+CH

=9+16=25(cm)

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=25^2-15^2=625-225=400=20^2\)

=>AC=20(cm)

c: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AB^2=55^2-44^2=33^2\)

=>AB=33(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AB\cdot AC=AH\cdot BC\)

=>\(AH\cdot55=33\cdot44\)

=>AH=26,4(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BA^2=BH\cdot BC\)

=>\(BH=\frac{33^2}{55}=19,8\left(\operatorname{cm}\right)\)

BH+HC=BC

=>HC=55-19,8=35,2(cm)

d: ΔAHC vuông tại H

=>\(AH^2+HC^2=AC^2\)

=>\(HC^2=40^2-24^2=\left(40-24\right)\left(40+24\right)=16\cdot64=4^2\cdot8^2=32^2\)

=>HC=32(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(CH\cdot CB=CA^2\)

=>CB=40^2/32=50(cm)

BH+HC=BC

=>BH=50-32=18(cm)

ΔAHB vuông tại H

=>\(HA^2+HB^2=AB^2\)

=>\(AB^2=18^2+24^2=900=30^2\)

=>AB=30(cm)

A B C H D

a)

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta HBA\) có:

           \(\widehat{B}:chung\)

      \(\widehat{BAC}=\widehat{BHA}\left(=90^o\right)\)

\(\Rightarrow\Delta ABC\sim\Delta HBA\left(g.g\right)\)           \(\left(ĐPCM\right)\)

Ta có: \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow AB=\dfrac{3}{4}AC\)

tam giác ABC vuông tại A nên áp dụng Py-ta-go

\(\Rightarrow BC^2=AB^2+AC^2=\dfrac{9}{16}AC^2+AC^2=\dfrac{25}{16}AC^2\)

\(\Rightarrow10000=\dfrac{25}{16}AC^2\Rightarrow AC^2=6400\Rightarrow AC=80\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow AB=\dfrac{3}{4}.80=60\left(cm\right)\)

tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH nên áp dụng hệ thức lượng

\(\Rightarrow AH.BC=AB.AC\Rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{60.80}{100}=48\left(cm\right)\)

tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH nên áp dụng hệ thức lượng

\(\Rightarrow AB^2=BH.BC\Rightarrow BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{60^2}{100}=36\left(cm\right)\)

tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH nên áp dụng hệ thức lượng

\(\Rightarrow AC^2=CH.BC\Rightarrow CH=\dfrac{AC^2}{BC}=\dfrac{80^2}{100}=64\left(cm\right)\)

Ta có: \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{3}{4}\)

nên \(AB=\dfrac{3}{4}AC\)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(AB^2+AC^2=BC^2\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{3}{4}AC\right)^2+AC^2=100^2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{25}{16}AC^2=10000\)

\(\Leftrightarrow AC^2=6400\)

hay AC=80(cm)

\(\Leftrightarrow AB=\dfrac{3}{4}\cdot AC=\dfrac{3}{4}\cdot80=60\left(cm\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

\(\Leftrightarrow AH\cdot100=60\cdot80=4800\)

hay AH=48(cm)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔABH vuông tại H,ta được:

\(AB^2=AH^2+BH^2\)

\(\Leftrightarrow BH^2=60^2-48^2=1296\)

hay BH=36(cm)

Ta có: BH+CH=BC(H nằm giữa B và C)

nên CH=BC-BH=100-36=64(cm)

a, Xét tam giác ABC và tam giác HBA ta có 

^B _ chung 

^BAC = ^BHA = 90⁰

Vậy tam giác ABC ~ tam giác HBA (g.g) 

b, Theo định lí Pytago tam giác ABC vuông tại A

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=15cm\)

\(\dfrac{AC}{AH}=\dfrac{BC}{AB}\Rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{36}{5}cm\)

\(\dfrac{AB}{HB}=\dfrac{BC}{AB}\Rightarrow BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{27}{5}cm\)

=> CH = 48/5 cm 

c, \(\dfrac{S_{ACD}}{S_{HCE}}=\left(\dfrac{AC}{HC}\right)^2=\dfrac{25}{16}\)

a) Xét ΔABC vuông tại A và ΔHCA vuông tại H có 

\(\widehat{C}\) chung

Do đó: ΔABC\(\sim\)ΔHCA(g-g)

b) Ta có: ΔABC\(\sim\)ΔHCA(cmt)

nên \(\dfrac{AB}{HC}=\dfrac{AC}{AH}=\dfrac{BC}{CA}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{HC}{AH}=1\)

\(\Leftrightarrow HC=AH=2\left(cm\right)\)

Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAHC vuông tại H có 

AB=AC(ΔABC vuông cân tại A)

AH chung

Do đó: ΔAHB=ΔAHC(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

Suy ra: HB=HC(hai cạnh tương ứng)

mà HC=2cm(cmt)

nên HB=2cm

Áp dụng định lí Pytago vào ΔAHB vuông tại H, ta được:

\(AB^2=AH^2+HB^2\)

\(\Leftrightarrow AB^2=8\)

hay \(AB=2\sqrt{2}\left(cm\right)\)

c: \(BE\cdot BA+CF\cdot CA+2\cdot BH\cdot CH\)

\(=BH^2+CH^2+2\cdot BH\cdot CH\)

\(=BC^2\)

a: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AC^2=CH\cdot CB\)

=>\(CB=\frac{10^2}{8}=\frac{100}{8}=12,5\left(\operatorname{cm}\right)\)

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AB^2=12,5^2-10^2=7,5^2\)

=>AB=7,5(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH=\frac{7,5\cdot10}{12,5}=6\left(\operatorname{cm}\right)\)

BC=BH+CH

=>BH=12,5-8=4,5(cm)

b: Xét ΔHAB vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao

nên \(AF\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)

c: Xét ΔHAB vuông tại H có HE là đường cao

nên \(BE\cdot BA=BH^2\)

Xét ΔCHA vuông tại H có HF là đường cao

nên \(CF\cdot CA=CH^2\)

\(BE\cdot BA+CF\cdot CA+2\cdot HB\cdot HC\)

\(=HB^2+2\cdot HB\cdot HC+HC^2=\left(HB+HC\right)^2=BC^2\)

d: \(BE\cdot BA=BH^2\)

=>\(BE=\frac{BH^2}{AB}\)

\(CF\cdot CA=CH^2\)

=>\(CF=\frac{CH^2}{CA}\)

\(\frac{BE}{CF}=\frac{BH^2}{AB}:\frac{CH^2}{AC}\)

\(=\frac{BH^2}{AB}\cdot\frac{AC}{CH^2}=\left(\frac{BH}{CH}\right)^2\cdot\frac{AC}{AB}\)

\(=\left(\frac{AB^2}{AC^2}\right)^2\cdot\frac{AC}{AB}=\frac{AB^4}{AC^4}\cdot\frac{AC}{AB}=\frac{AB^3}{AC^3}\)