TXĐ: D = R \ {-2}

Ta có: \(y'=\dfrac{\left(-2x+2\right)\left(x+2\right)-\left(-x^2+2x-1\right)}{\left(x+2\right)^2}=\dfrac{-x^2-4x+5}{\left(x+2\right)^2}\)

\(y'=0\Rightarrow-x^2-4x+5=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-5\\x=1\end{matrix}\right.\)

⇒ Hàm số y đồng biến trên (-5, -2) và (-2, 1)

Hàm số y nghịch biến trên (-∞, -5) và (1, +∞)

Bài 1:

a: \(f^{\prime}\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(1-x^2\right)\left(2x-1\right)^3\)

\(=\left(1-x\right)\left(x+1\right)^2\cdot\left(2x-1\right)^3\)

Đặt f'(x)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}1-x=0\\ x+1=0\\ 2x-1=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=1\\ x=-1\\ x=\frac12\end{array}\right.\)

Bảng xét dấu:

=>Hàm số đồng biến trên khoảng (1/2;1); nghịch biến trên các khoảng (-∞;-1);(-1;1/2);(1;+∞)

b; Đặt f'(x)=0

=>\(\left(x+2\right)\left(x-3\right)^2\cdot\left(x-4\right)^3=0\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x+2=0\\ x-3=0\\ x-4=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=-2\\ x=3\\ x=4\end{array}\right.\)

Bảng xét dấu:

=>Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;-2);(4;+∞)

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-2;3); (3;4)

\(f\left(x\right)=\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}\) \(\left(-1\le x\le1\right)\)

\(f'\left(x\right)=\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}-\dfrac{1}{2\sqrt{1-x}}\)\(=\dfrac{\sqrt{1-x}-\sqrt{x+1}}{2\sqrt{1-x^2}}\)

\(f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x=0\)

Xét dấu \(f'\left(x\right)\)

Hàm số đồng biến trên \(\left(-1;0\right)\) và nghịch biến trên \(\left(0,1\right)\)

ĐKXĐ: \(2x-x^3\ge0\)

=>\(x^3-2x\le0\)

=>\(x\left(x^2-2\right)\le0\)

TH1: \(\begin{cases}x\ge0\\ x^2-2\le0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x\ge0\\ x^2\le2\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x\ge0\\ -\sqrt2\le x\le\sqrt2\end{cases}\Rightarrow0\le x\le\sqrt2\)

TH2: \(\begin{cases}x\le0\\ x^2-2\ge0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x\le0\\ x^2\ge2\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x\le0\\ \left[\begin{array}{l}x\ge\sqrt2\\ x\le-\sqrt2\end{array}\right.\Rightarrow x\le-\sqrt2\end{cases}\)

\(y=\sqrt{2x-x^3}\)

=>\(y^{\prime}=\frac{\left(2x-x^3\right)^{\prime}}{2\cdot\sqrt{2x-x^3}}=\frac{2-3x^2}{2\cdot\sqrt{2x-x^3}}\)

Đặt y'>0

=>\(2-3x^2>0\)

=>\(-3x^2>-2\)

=>\(3x^2<2\)

=>\(x^2<\frac23\)

=>\(-\frac{\sqrt6}{3}

Kết hợp ĐKXĐ, ta được: \(0

=>Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(0;\frac{\sqrt6}{3}\right)\)

Đặt y'<0

=>\(2-3x^2<0\)

=>\(-3x^2<-2\)

=>\(3x^2>2\)

=>\(x^2>\frac23=\frac69\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x>\frac{\sqrt6}{3}\\ x<-\frac{\sqrt6}{3}\end{array}\right.\)

Kết hợp ĐKXĐ, ta được: \(\left[\begin{array}{l}\frac{\sqrt6}{3}

=>Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left(\frac{\sqrt6}{3};\sqrt2\right);\left(-\infty;-\sqrt2\right)\)

ĐKXĐ: x∈R

\(y=-x+\sqrt{x^2+8}\)

=>y'=-1+\(\frac{\left(x^2+8\right)^{\prime}}{2\cdot\sqrt{x^2+8}}=-1+\frac{2x}{2\cdot\sqrt{x^2+8}}=-1+\frac{x}{\sqrt{x^2+8}}=\frac{x-\sqrt{x^2+8}}{\sqrt{x^2+8}}\)

Đặt y'<0

=>\(x-\sqrt{x^2+8}<0\)

=>\(-\sqrt{x^2+8}<-x\)

=>\(\sqrt{x^2+8}>x\)

=>\(x^2+8>x^2\)

=>8>0(đúng)

=>x∈R

=>Hàm số luôn nghịch biến trên R

Tập xác định \(x< \frac{1}{2}\)

Ta có : \(y'=1-\frac{2}{1-2x}=\frac{-1-2x}{1-2x}\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}\)

Hàm số đồng biến trên \(\left(-\infty;-\frac{1}{2}\right)\) 

Hàm số nghịch biến trên \(\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\)

a: Hàm số đồng biến trên R

b: Hàm số nghịch biến trên R

Đáp án đúng : D