Sửa đề: \(x^2+\left(m+3\right)x+2m+2=0\)

a: Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì 2m+2<0

hay m<-1

b: \(\text{Δ}=\left(m+3\right)^2-4\left(2m+2\right)\)

\(=m^2+6m+9-8m-8\)

\(=m^2-2m+1=\left(m-1\right)^2>=0\)

Do đó: Phương trình luôn có hai nghiệm với mọi m 

Để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt thì \(\left\{{}\begin{matrix}m-1< >0\\2m+2>0\\m+3>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-1\\m< >1\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\vert{}x^2 - 3x - 3 + m\vert{} = x + 1\) (*)

=>\(\begin{cases} x + 1 \ge 0 \\ \left[ \begin{aligned} &x^2 - 3x - 3 + m = x + 1 \\ &x^2 - 3x - 3 + m = -(x + 1) \end{aligned} \right. \end{cases}\)

\(\iff\begin{cases}x\ge-1\\ \left[\begin{aligned} & m=-x^2+4x+4\quad(1)\\ & m=-x^2+2x+2\quad(2)\end{aligned}\right.\end{cases}\)

Để phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt thì tổng số nghiệm x>=-1 của (1) và (2) phải đúng bằng 3

(1): \(m = -x^2 + 4x + 4\)

Xét hàm số \(f(x) = -x^2 + 4x + 4\) với x>=-1

Tọa độ đỉnh là: \(\begin{cases}x=-\frac{b}{2a}=\frac{-4}{2\cdot\left(-1\right)}=\frac42=2\\ y=-2^2+4\cdot2+4=-4+4+8=8\end{cases}\)

\(f(-1) = -(-1)^2 + 4(-1) + 4 = -1\)

(2): \(m=-x^2+2x+2\)

Xét hàm số \(g(x) = -x^2 + 2x + 2\) , với x>=-1

Tọa độ đỉnh là: \(\begin{cases}x=-\frac{b}{2a}=\frac{-2}{2\cdot\left(-1\right)}=\frac{-2}{-2}=1\\ y=-1^2+2\cdot1+2=-1+2+2=3\end{cases}\)

\(g(-1) = -(-1)^2 + 2(-1) + 2 = -1\)

Số nghiệm của (*) chính là số giao điểm của đường thẳng y=m với (P1): y=-x^2+4x+4 và (P2): y=-x^2+2x+2

TH1: m>8

Theo hình vẽ, ta thấy khi m>8 thì đường thẳng y=m nằm hoàn toàn phía trên cả hai đỉnh parabol (đỉnh cao nhất là 8).

=>(*) vô nghiệm

=>Loại

TH2: m=8

Khi đó, đường thẳng y=m=8 chỉ cắt đúng đỉnh của (P1) và nằm hoàn toàn phía trên của (P2)

=>(*) có duy nhất 1 nghiệm

=>Loại

TH3: 3<m<8

Khi đó, đường thẳng y=m nằm dưới đỉnh của (P1) và nằm phía trên của (P2)

=>(*) có 2 nghiệm

=>Loại

TH4: m=3

Đường thẳng y=m=3 đi qua đỉnh của (P2) và cắt ngang qua (P1), tức sẽ có 2+1=3 nghiệm

=>Nhận

TH5: -1<m<3

=>Đường thẳng y = m cắt ngang qua cả hai parabol ở vùng phía trên điểm biên -1

=>(*) có 2+2=4 nghiệm

=>Loại

TH6: m=-1

=>Đường thẳng y=-1 đi qua đúng điểm biên bắt đầu của cả hai đồ thị (điểm chung duy nhất là điểm A(-1;-1)

(1) khi đó sẽ trở thành: \(-x^2+4x+4=-1\)

=>\(-x^2+4x+5=0\)

=>\(x^2-4x-5=0\)

=>(x-5)(x+1)=0

=>x=5 hoặc x=-1

(2) khi đó sẽ trở thành: \(-x^2+2x+2=-1\)

=>\(-x^2+2x+3=0\)

=>\(x^2-2x-3=0\)

=>(x-3)(x+1)=0

=>x=3 hoặc x=-1

Do đó: (*) có 3 nghiệm phân biệt x∈{5;-1;3}

=>Nhận

TH7: m<-1

=>Đường thẳng y=m sẽ nằm hoàn toàn ở phía dưới điểm biên A(-1;-1)

Khi đó, y=m chỉ có thể cắt (P1) và (P2) tại tối đa 2 điểm ở hai đồ thị

=>(*) chỉ có thể có tối đa 2 nghiệm

=>Loại

a)Bạn chỉ cần bê 1/2 vào tìm m bình thường

b)nx-2+n=3x

\(\Leftrightarrow\left(m-3\right)x+m-2=0\)

Để pt có nghiệm duy nhất thì m-3 khác 0 suy ra m khác 0

Khi đó nghiệm duy nhất là x=-m+2/m-3

b: \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-3x-4=2m-1\\x^2-3x-4=-2m+1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-3x-4-2m+1=0\\x^2-3x-4+2m-1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-3x-2m+3=0\\x^2-3x+2m-5=0\end{matrix}\right.\)

Để phương trình có bốn nghiệm phân biệt thì \(\left\{{}\begin{matrix}9-4\left(-2m+3\right)>0\\9-4\left(2m-5\right)>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}9+8m-12>0\\9-8m+20>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}8m>3\\8m< 29\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\dfrac{3}{8}< m< \dfrac{29}{8}\)

b: Thay x=-5 vào pt, ta được:

\(m+25+65=0\)

hay m=-90

Theo đề, ta có: \(x_1+x_2=13\)

nên \(x_2=18\)

c: Thay x=-3 vào pt, ta được:

\(18+3\left(m+4\right)+m=0\)

=>4m+30=0

hay m=-15/2

Theo đề, ta có: \(x_1\cdot x_2=-\dfrac{m}{2}=\dfrac{15}{4}\)

hay \(x_2=-1.25\)